Enunciado

Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

x y ' ' + y = 0

Passo 1

E aí meu colega, bora lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

x y ' ' + y = r 2 - r c 0 x r - 1 + ∑ k = 0 ∞ k + r k + r + 1 c k + 1 + c k x k + r = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

r . r - 1 = 0

k + r + 1 . k + r c k + 1 + c k = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 0 e r = 1

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 0 e r = 1

Para r = 1 , temos

c k + 1 = c - k ( k + 2 ) ( k + 1 ) ,   k = 0 , 1,2 , 3,4 …

E então:

c 1 = - 1 2 c 0

c 2 = 1 3 ! 2 c 0

c 3 = 1 4 ! 3 ! c 0

Então, nossa solução geral é

y = c 0 . x - 1 2 x 2 + 1 3 ! 2 x 3 - 1 4 ! 3 ! x 4 + …

Resposta

y = c 0 . x - 1 2 x 2 + 1 3 ! 2 x 3 - 1 4 ! 3 ! x 4 + …

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