Enunciado

Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

x y ' ' + y ' + y = 0

Passo 1

E aí meu colega, bora lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

x y ' ' + y ' + y = r 2 c 0 x r - 1 + ∑ k = 0 ∞ k + r k + r - 1 c k + k + r c k + c k - 1 x k + r - 1 = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

r ² = 0

k + r 2 c k + c k - 1 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 0

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 0

c k = - c k - 1 k ² ,   k = 1,2 , 3,4 …

Então, nossa solução geral é

y = c 0 . 1 - x + 1 2 2 x 2 - 1 3 ! 2 x 3 + 1 4 ! 2 x 4 - …

Resposta

y = c 0 . 1 - x + 1 2 2 x 2 - 1 3 ! 2 x 3 + 1 4 ! 2 x 4 - …

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Em cada um dos problemas de 13 a 17: (a) Mostre que x=0 é um ponto singular regular da equação diferencial dada. (b) Encontre os expoentes no ponto singular x=0 . (c) Encontre os três primeiros termos
Mostre diretamente que a série para J 0 ( x ) , Eq. (7), converge absolutamente para todo x .
Mostre diretamente que a série para J 1 ( x ) , Eq. (27), converge absolutamente para todo x e que: J 0 ' x = - J 1 ( x )
Em cada um dos problemas de 1 a 4, mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x=0 , e determine duas soluções para x0 . x 2 y ' ' + 3 x y ' + 1 + x y = 0
Mostre que a equação de Bessel de ordem meio x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 1 4 y = 0 ;x0 pode ser reduzida à equação υ ″ + υ = 0 pela mudança da variável dependente y=x- 1 2 υ ( x ) . Conclua disso que y