Enunciado

Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

x y ' ' + 2 y ' - x y = 0

Passo 1

E aí meu colega, bora lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

x y ' ' + 2 y ' - x y = r 2 + r c 0 x r - 1 + r 2 + 3 r + 2 c 1 x r + ∑ k = 2 ∞ k + r - 1 k + r c k + 2 ( k + r ) c k - c k - 2 x k + r - 1 = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

r ( r + 1 ) = 0

r 2 + 3 r + 2 c 1 = 0

k + r k + r + 1 c k - c k - 2 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = - 1 e r = 0

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = - 1 e r = 0

Usando r = 0 , temos

c k = c k - 2 k ( k + 1 ) ,   k = 2,3 , 4 …

E então:

c 1 = 1 3 ! c 0

c 3 = c 5 = c 7 = … = 0

c 4 = 1 5 ! c 0

Enquanto para r = - 1 temos:

c k = c k - 2 k ( k - 1 ) ,   k = 2,3 , 4 …

Então:

c 2 = 1 2 ! c 0

c 3 = c 5 = c 7 = … = 0

c 4 = 1 4 ! c 0

Então, nossa solução geral é

y = C 1 . ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 ! x 2 n + C 2 x - 1 ∑ n = 0 ∞ 1 2 n ! x 2 n

y = 1 x . C 1 s e n h x + C 2 cosh ⁡ x

Resposta

y = 1 x . C 1 s e n h x + C 2 cosh ⁡ x

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