Enunciado

Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

9 x 2 y ' ' + 9 x ² y ' + 2 y = 0

Passo 1

Salveee, vamos lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

9 x 2 y ' ' + 9 x ² y ' + 2 y = 9 r 2 - 9 r + 2 c 0 x r + ∑ k = 1 ∞ 9 k + r - 1 k + r c k + 2 c k + 9 k + r - 1 c k - 1 x k + r = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

3 r - 1 . ( 3 r - 2 ) = 0

9 k + r k + r - 1 + 2 c k + 9 ( k + r - 1 ) c k - 1 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 1 3 e r = 2 3

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 2 3 e r = 1 3

Usando r = 1 3 , temos

c k = - 3 k - 2 c k - 1 k 3 k - 1 ,   k = 1 , 2,3 …

E então:

c 1 = - 1 2 c 0

c 2 = 1 5 c 0

c 3 = - 7 12 0 c 0

Enquanto para r = 2 3 temos:

c k = - 3 k - 1 c k - 1 k 3 k + 1 ,   k = 1 , 2,3 …

Então:

c 1 = - 1 2 c 0

c 2 = 5 28 c 0

c 3 = - 1 21 c 0

Então, nossa solução geral é

y = C 1 . x 1 3 1 - 1 2 x + 1 5 x 2 - 7 120 x ³ + … + C 2 . x 2 3 1 - 1 2 x + 5 28 x 2 - 1 21 x ³ + …

Resposta

y = C 1 . x 1 3 1 - 1 2 x + 1 5 x 2 - 7 120 x ³ + … + C 2 . x 2 3 1 - 1 2 x + 5 28 x 2 - 1 21 x ³ + …

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