Enunciado

Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial.

f t = 2 t - 4 ∫ 0 t s e n   τ   f t - τ d τ

Passo 1

Bora lá?

Temos a equação:

f t = 2 t - 4 ∫ 0 t s e n   τ   f t - τ d τ

E vamos usar a Transformada de Laplace para encontrarmos f ( t ) , beleza?

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

E vamos lembrar também que a convolução ∫ 0 t f t - τ g t d τ no domínio do tempo é a multiplicação no domínio s , certo?

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

f t = 2 t - 4 ∫ 0 t s e n   τ   f t - τ d τ

Em ∫ 0 t s e n   τ   f t - τ d τ temos a convolução de s e n ( t ) com f ( t ) , então podemos escrever como a multiplicação das suas transformadas

F s = 2 s 2 - 4 1 s 2 + 1 . F s

F s = 2 s 2 - 4 s 2 + 1 . F s

F s . 1 + 4 s 2 + 1 = 2 s 2

F s = 2 s 2 1 + 4 s 2 + 1

Fazendo MMC ali no denominador:

F s = 2 s 2 s 2 + 1 + 4 s 2 + 1

F s = 2 s 2 s 2 + 5 s 2 + 1

F s = 2 . ( s 2 + 1 ) s 2 ( s 2 + 5 )

F s = 2 s 2 + 2 s 2 ( s 2 + 5 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

F s = 2 s 2 + 2 s 2 ( s 2 + 5 )

Expandindo em frações parciais, temos:

F s = 2 5 . 1 s 2 + 8 5 5 . 5 s 2 + 5

Fazendo a transformada inversa, de acordo com as informações do passo 1, temos:

f t = 2 5 . t + 8 5 5 s e n ( 5 t )

E fimmm

Resposta

f t = 2 5 . t + 8 5 5 s e n ( 5 t )

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