Enunciado

Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial.

t - 2 f t = ∫ 0 t ( e τ - e - τ ) f ( t - τ )   d τ

Passo 1

Bora lá?

Temos a equação:

t - 2 f t = ∫ 0 t ( e τ - e - τ ) f ( t - τ )   d τ

E vamos usar a Transformada de Laplace para encontrarmos f ( t ) , beleza?

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

E vamos lembrar também que a convolução ∫ 0 t f t - τ g t d τ no domínio do tempo é a multiplicação no domínio s , certo?

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

t - 2 f t = ∫ 0 t ( e τ - e - τ ) f ( t - τ )   d τ

Em ∫ 0 t ( e τ - e - τ ) f ( t - τ )   d τ temos a convolução de f ( t ) com e t - e - t então podemos escrever como a multiplicação das suas transformadas

1 s ² - 2 F s = 1 s - 1 - 1 s + 1 . F ( s )  

F s . 1 s - 1 - 1 s + 1 + 2 = 1 s 2

Fazendo MMC:

F s . 1 . s + 1 - 1 . s - 1 + 2 ( s - 1 ) ( s + 1 ) ( s - 1 ) ( s + 1 ) = 1 s 2

F s . s + 1 - s + 1 + 2 ( s 2 - 1 ) ( s - 1 ) ( s + 1 ) = 1 s 2

F s . 2 + 2 s 2 - 2 ( s - 1 ) ( s + 1 ) = 1 s 2

F s . 2 s 2 s 2 - 1 = 1 s 2

Isolando F ( s ) :

F s = s 2 - 1 2 s 4

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

F s = s 2 - 1 2 s 4

Expandindo em frações parciais, encontramos

F s = 1 2 . 1 s 2 - 1 12 . 3 ! s 4

Fazendo a transformada inversa, de acordo com as informações do passo 1, temos:

f t = 1 2 t - 1 12 t ³

E fimmm

Resposta

f t = 1 2 t - 1 12 t ³

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