Enunciado

Nos problemas 33-40, verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral.

y ' ' - y ' - 12 y = 0 ;       e - 3 x ,   e 4 x ,     ( - ∞ ,   ∞ )

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes. E elas tem que satisfazer a equação.

Vamos ver se y 1 = e - 3 x ...

y 1 ' = - 3 e - 3 x

y 1 ' ' = 9 e - 3 x

Substituindo na EDO:

y ' ' - y ' - 12 y = 0

9 e - 3 x + 3 e - 3 x - 12 e - 3 x = 0

0 = 0

Então é solução!

Passo 2

Agora vamos ver se y 2 = e 4 x é solução:

y 2 ' = 4 e 4 x

y 2 ' ' = 16 e 4 x

Substituindo na EDO:

y ' ' - y ' - 12 y = 0

16 e 4 x - 4 e 4 x - 12 e 4 x = 0

0 = 0

Então também é solução!

Passo 3

Agora precisamos ver se elas são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:

W = e - 3 x e 4 x - 3 e - 3 x 4 e 4 x

= 4 e x + 3 e x

= 7 e x ≠ 0

Então vimos que as funções são LI, e, portanto, são um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.

Passo 4

Então agora, de acordo com a definição 4.4, temos que a solução geral é dada por:

y = c 1 e - 3 x + c 2 e 4 x

E prontinho! Terminamos por aqui 😉

Resposta

y = c 1 e - 3 x + c 2 e 4 x

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