Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

28. 2 y ' ' ' - 3 y ' ' - 3 y ' + 2 y = e x + e - x 2

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' ' = m 3 , y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

2 y ' ' ' - 3 y ' ' - 3 y ' + 2 y = e x + e - x 2

2 m 3 - 3 m 2 - 3 m + 2 = 0

Fatorando isso aí, ou seja, reescrevendo nossa expressão de outra forma, teremos:

m + 1 2 m - 1 m - 2 = 0

E então encontramos que:

m 1 = - 1

m 2 = 1 2

m 3 = 2

Como as raízes são distintas então teremos a seguinte solução complementar, galera:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 1 x + c 3 e m 1 x

y c = c 1 e - x + c 2 e x 2 + c 3 e 2 x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = e x + e - x 2

g x = e 2 x + e - 2 x + 2

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato e a x o seguinte operador anula nossa função:

D - a

No qual D é o operador definido como D y = d y d x e a é a constante que acompanha x no expoente. No nosso caso temos a = 2 , logo nosso primeiro operador será:

D - 2

O segundo operador é quase idêntico ao primeiro, só muda o sinal. Sendo assim, o nosso segundo operador será:

D + 2

E, por fim, quando temos uma função no formato k o seguinte operador anula nossa função:

D

Dessa forma nosso operador completo será D D - 2 D + 2 . Aplicando na nossa equação, teremos:

2 y ' ' ' - 3 y ' ' - 3 y ' + 2 y = e x + e - x 2

2 D 3 y - 3 D 2 y - 3 D y + 2 y = e x + e - x 2

2 D 3 - 3 D 2 - 3 D + 2 y = e x + e - x 2

D D - 2 D + 2 2 D 3 - 3 D 2 - 3 D + 2 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 3 = m 3 ,   D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m m - 2 m + 2 2 m 3 - 3 m 2 - 3 m + 2 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = 0

m 2 = m 3 = 2

m 4 = - 2

m 5 = - 1

m 6 = 1 2

Dessa forma, conforme vimos no capítulo inteeeeiro, uma solução geral para nosso problema será a seguinte:

y = c 1 e - x + c 2 e 2 x + c 3 e x 2 + c 4 + c 5 x e 2 x + c 6 e - 2 x

Observe que o termo c 1 e - x + c 2 e 2 x + c 3 e x 2 é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A + B x e 2 x + C e - 2 x

Aqui vale ressaltar que A = c 4 ,   B = c 5   e   C = c 6 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' ,   y p ' '   e   y p ' ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = B 1 . e 2 x + 2 x e 2 x - 2 C e - 2 x

y p ' ' = 2 B e 2 x + 2 B 1 . e 2 x + 2 x e 2 x + 4 C e - 2 x

y p ' ' ' = 4 B e 2 x + 4 B e 2 x + 4 B 1 . e 2 x + 2 x e 2 x - 8 C e - 2 x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

2 y ' ' ' - 3 y ' ' - 3 y ' + 2 y = e x + e - x 2

2 4 B e 2 x + 4 B e 2 x + 4 B 1 . e 2 x + 2 x e 2 x - 8 C e - 2 x

- 3 2 B e 2 x + 2 B 1 . e 2 x + 2 x e 2 x + 4 C e - 2 x - 3 B 1 . e 2 x + 2 x e 2 x - 2 C e - 2 x + 2 A + B x e 2 x + C e - 2 x = e x + e - x 2

Como temos uma identidade isso nos dá que:

A = 1 B = 1 9 C = - 1 20

(OBS: Aqui é interessante utilizarmos uma calculadora que resolve o sistema formado a partir da identidade, uma vez que resolver analiticamente, isto é, na mão, daria um trabalho absurdo.) Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = c 1 e - x + c 2 e 2 x + c 3 e x 2 + 1 + 1 9 x e 2 x - 1 20 e - 2 x

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = c 1 e - x + c 2 e 2 x + c 3 e x 2 + 1 + 1 9 x e 2 x - 1 20 e - 2 x

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