Enunciado

Nos problemas 7-10, especifique as singularidades regulares e irregulares da equação diferencial dada.

x 2 x 2 - 9 2 y ' ' - x 2 - 9 y ' + x y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Bom, vamos começar escrevendo a EDO da forma “certinha”:

y ' ' - y ' x 2 x 2 - 9 + y x x 2 - 9 2 = 0

Aqui temos:

P x = - 1 x 2 ( x 2 - 9 )     e     Q x = 1 x x 2 - 9 2

Então temos os pontos x = 0 e x = - 3   e   x = 3 como singulares na equação.

Vamos classificar agora como regular ou irregular.

Passo 2

Analisando primeiro o caso x = 0 . Para ser regular, é necessário que existam os limites:

Temos:

lim x → 0 ⁡ x   p x = l i m x → 0 - x x 2 x 2 - 9 = l i m x → 0 - 1 x x 2 - 9    

Esse limite não existe, então esse ponto é irregular!

Passo 3

Agora vamos ver o ponto x = - 3 :

lim x → - 3 ⁡ x 2 - 9 ( p ( x ) ) = lim x → - 3 ⁡ x 2 - 9 - 1 x 2 ( x 2 - 9 ) = - 1 9

lim x → - 3 ⁡ x 2 - 9 2 ( q ( x ) ) =   lim x → - 3 ⁡ x 2 - 9 2 ( 1 x x 2 - 9 2 ) ) = - 1 3

E os limites existem, então esse ponto é regular!

Passo 4

E agora o ponto x = 3 :

lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 ( p ( x ) ) = lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 - 1 x 2 ( x 2 - 9 ) = - 1 9

lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 2 ( q ( x ) ) =   lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 2 ( 1 x x 2 - 9 2 ) ) = 1 3

Os limites existem, então esse também é um ponto regular!

Resposta

Singularidade regular em x = - 3   e   x = 3 e uma irregular x = 0 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A equação diferencial de Laguerre 13 é x y ″ + ( 1 - x ) y ' + λ y = 0 . (a) Mostre quex=0 é um ponto singular regular. (b) Determine a equação indicial, suas raízes e a relação de recorrência. (c) En
A equação de Bessel de ordem um é x 2 y ″ + x y ' + ( x 2 – 1 ) y = 0 (a) Mostre quex=0 é um ponto singular regular. (b) Mostre que as raízes da equação indicial são r 1 = 1 e r 2 = – 1 . (c) Mostre q
Considere a equação diferencial x 3 y ″+α x y '+β y=0 , em que α eβ são constantes reais e α≠0 . (a) Mostre que x=0 é um ponto singular irregular. (b) Ao tentar encontrar uma solução da forma ∑ n = 0
Em diversos problemas em física matemática, é necessário estudar a equação diferencial x ( 1 –x ) y ″+[ γ–( 1+α+β ) x ] y '–α β y=0 em que α ,βeγ são constantes. Essa equação é conhecida como equação
Em cada um dos problemas de 13 a 17: (a) Mostre que x=0 é um ponto singular regular da equação diferencial dada. (b) Encontre os expoentes no ponto singular x=0 . (c) Encontre os três primeiros termos