Enunciado

A equação diferencial de Laguerre 13 é

x y ″ + ( 1 - x ) y ' + λ y = 0 .  

(a) Mostre que   x   =   0 é um ponto singular regular.

(b) Determine a equação indicial, suas raízes e a relação de recorrência.

(c) Encontre uma solução ( x   >   0 ) . Mostre que, se λ   =   m for um inteiro positivo, essa solução se reduzirá a um polinômio. Quando normalizado apropriadamente, esse polinômio é conhecido como o polinômio de Laguerre L m ( x ) .

Passo 1

(a ) A partir da equação dada, temos P ( x ) = x ,   Q ( x ) = 1 - x e R ( x ) = λ . Os pontos singulares ocorrem quando P ( x 0 ) = 0 , portanto, o ponto singular da equação dada é:

x 0 = 0

Para descobrir se x 0 = 0 é um ponto singular regular, verificamos se os seguintes limites são finitos:

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q x P ( x ) = lim x → 0 ⁡ x 1 - x x = 1

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R x P ( x ) = lim x → 0 ⁡ x 2 λ x = 0

Portanto, x 0 é um ponto singular regular.

Passo 2

(b) Agora assumimos que a solução y é dada na forma:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x r + n

A primeira derivada:

y ' = ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) a n x r + n

A segunda derivada é:

y ' ' = ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) ( r + n - 1 ) a n x r + n - 2

Se a nossa EDO está na forma:

x y ″ + ( 1 - x ) y ' + λ y = 0  

Substituindo os termos na EDO, teremos:

x ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) ( r + n - 1 ) a n x r + n - 2 + ( 1 - x ) ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) a n x r + n + λ ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0  

Ao multiplicar os fatores pelos somatórios correspondentes, obtemos:

∑ n = 0 ∞ ( r + n ) ( r + n - 1 ) a n x r + n - 1 + ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) a n x r + n - 1 - ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) a n x r + n + λ ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0  

Agora ajustamos o índice dos dois primeiros somatórios para que x neles expoente r   +   n :

∑ n = - 1 ∞ ( r + n ) ( r + n + 1 ) a n + 1 x r + n + ∑ n = - 1 ∞ ( r + n + 1 ) a n + 1 x r + n - ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) a n x r + n + λ ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0  

Passo 3

Avaliamos alguns termos para que todos os somatórios iniciem no índice n   =   0 e obtenham:

r r - 1 a 0 x r - 1 + ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) ( r + n + 1 ) a n + 1 x r + n + r a 0 x r - 1 + ∑ n = 0 ∞ ( r + n + 1 ) a n + 1 x r + n - ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) a n x r + n + λ ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0  

Combinando os termos, temos:

r r - 1 + r a 0 x r + ∑ n = 0 ∞ r + n + 1 r + n + r + n + 1 a n + 1 - r + n - λ a n x r + n = 0

Ou seja, depois de simplificar:

r 2 a 0 x r + ∑ n = 0 ∞ r + n + 1 2 a n + 1 - r + n - λ a n x r + n = 0

Igualando os coeficientes de ambos os lados, obtemos:

r 2 a 0 = 0

r + n + 1 2 a n + 1 - r + n - λ a n = 0

Dividindo a última equação por r   +   n   +   1   ≠   0 e deslocando os índices, obtemos a equação de recorrência:

r + n 2 a n - r + n - 1 - λ a n - 1 = 0

Desde que a 0 ≠ 0 , nós obtemos a equação:

r 2 = 0

Onde as duas raízes são nulas, ou seja:

r = 0

Passo 4

A relação de recuperação pode ser escrita como.

a n = r + n - 1 - λ a n - 1 r + n 2 = r - 1 - λ a n - 1 n 2

Portanto, escolhendo a 0 = 1 , a solução y   =   y 1 é igual a:

y 1 = x r ∑ n = 0 ∞ a n x n = 1 + - λ 1 2 x + - λ 1 - λ 1 2 . 2 2 x 2 + - λ 1 - λ 2 - λ 1 2 . 2 2 . 3 2 + … + - λ 1 - λ … n - 1 - λ n ! 2 + …

Resposta

(a) x 0 é um ponto singular regular.

(b) r = 0 , r + n 2 a n - r + n - 1 - λ a n - 1 = 0

(c) y 1 = x r ∑ n = 0 ∞ a n x n = 1 + - λ 1 2 x + - λ 1 - λ 1 2 . 2 2 x 2 + - λ 1 - λ 2 - λ 1 2 . 2 2 . 3 2 + … + - λ 1 - λ … n - 1 - λ n ! 2 + …

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