Enunciado

Nos Problemas 5 e 6, encontre a solução geral do sistema de equações dado.

x ' = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 x

Passo 1

Para determinarmos a solução geral do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 - r 0 0 0 r 0 0 0 r

det ⁡ A - r I = - r 1 1 1 - r 1 1 1 - r

det ⁡ A - r I = - r 3 + 3 r 2 + 2

Tendo as raízes:

r 1 = 2

r 2,3 = - 1

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = 2 , temos:

A - r I ξ = 0

- 2 1 1 1 - 2 1 1 1 - 2 ∙ ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

Reduzindo o sistema para:

ξ 1 - ξ 3 = 0

ξ 2 - ξ 3 = 0

Para r = 2 :

ξ 1 = 1 1 1

Para r = - 1 :

- 1 1 1 1 - 1 1 1 1 - 1 ∙ ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

ξ 2,3 = 1 0 - 1 , 0 1 - 1

Passo 2

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t + c 3 x 3 ( t )

Em que:

x ( 1 ) t = 1 1 1 ∙ e 2 t

E:

x 2 t = 1 0 - 1 ∙ e - t

Para terceira parte:

x 3 t = 0 1 - 1 ∙ e - t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 1 1 1 ∙ e 2 t + c 2 1 0 - 1 ∙ e - t + c 3 0 1 - 1 ∙ e - t

Resposta

x = c 1 1 1 1 ∙ e 2 t + c 2 1 0 - 1 ∙ e - t + c 3 0 1 - 1 ∙ e - t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6 : ( a ) Encontre a solução geral do sistema de equações dado e descreva o comportamento das soluções quando t → ∞ ( b ) Desenhe um campo de direções e faça o gráfico
Em cada um dos problemas de 15 a 18 , resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando t → ∞ x ' = - 2 1 - 5 4 x ,x 0 = 1 3
Em cada um dos problemas de 9 a 14 , encontre a solução geral do sistema de equações dado. x ' = 2 2 + i - 1 - 1 - i x
Em cada um dos problemas de 9 a 14 , encontre a solução geral do sistema de equações dado. x ' = 1 1 2 1 2 1 2 1 1 x
Em cada um dos problemas de 1 a 6 : ( a ) Encontre a solução geral do sistema de equações dado e descreva o comportamento das soluções quando t → ∞ ( b ) Desenhe um campo de direções e faça o gráfico