Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 a 14 , encontre a solução geral do sistema de equações dado.

x ' = 1 1 2 1 2 1 2 1 1 x

Passo 1

O procedimento é o mesmo para uma matriz 3 x 3 a parada é que agora teremos três soluções dadas pelos seus autovalores e os autovalores dessa matriz serão dadas por:

det ⁡ 1 - r 1 2 1 2 - r 1 2 1 1 - r = 0

1 - r 1 2 1 2 - r 1 2 1 1 - r 1 - r 1 1 2 - r 2 1

Fazendo a multiplicação cruzada nós teremos

1 - r 2 2 - r + 2 + 2 - 2 2 - r - 1 - r = 0

E que dará como resultado final:

- r 3 + 4 r 2 + r - 4 = 0

E que terá como raízes:

r 1 ; r 2 ; r 3 = ( 1 ; - 1 ; 4 )

Passo 2

O auto vetor para r = 1 será:

1 - 1 1 2 1 2 - 1 1 2 1 1 - 1 ξ 1 1 ξ 1 2 ξ 1 3 = 0

0 1 2 1 1 1 2 1 0 ξ 1 1 ξ 2 1 ξ 3 1 = 0

E isso nos dá um sistema igual a:

ξ 2 1 + 2 ξ 3 1 = 0 → ξ 2 1 = - 2 ξ 2 1

ξ 1 1 + ξ 2 1 + ξ 3 1 = 0

2 ξ 1 1 + ξ 2 1 = 0 → ξ 2 1 = - 2 ξ _ x 1 1

O que nos dá um auto vetor igual a:

ξ 1 = 1 - 2 1

Então a solução para esse auto valor será:

x 1 = c 1 1 - 2 1 e t

Passo 3

Agora para r = - 1 teremos:

1 + 1 1 2 1 2 + 1 1 2 1 1 + 1 ξ 1 2 ξ 2 2 ξ 3 2 = 0

2 1 2 1 3 1 2 1 2 ξ 1 2 ξ 2 2 ξ 3 2 = 0

Isso nos dará um sistema igual a:

2 ξ 1 2 + ξ 2 2 + 2 ξ 3 2 = 0

ξ 1 2 + 3 ξ 2 2 + ξ 3 2 = 0

2 ξ 1 2 + ξ 2 2 + 2 ξ 3 2 = 0

Diminuindo a segunda equação da primeira e da segunda nós vamos obter:

ξ 2 2 = 0

Portanto nós vamos ter:

ξ 1 2 + ξ 3 2 = 0 → ξ 1 2 = - ξ 3 2

O que nos dá um auto vetor igual a:

ξ 2 = 1 0 - 1

Então a solução para esse autovalor será:

x 2 = c 2 1 0 - 1 e - t

Passo 4

Agora para r = 4 teremos:

1 - 4 1 2 1 2 - 4 1 2 1 1 - 4 ξ 1 3 ξ 2 3 ξ 3 3 = 0

- 3 1 2 1 - 2 1 2 1 - 3 ξ 1 3 ξ 2 3 ξ 3 3 = 0

O sistema que essa matriz nos dará é:

- 3 ξ 1 3 + ξ 2 3 + 2 ξ 3 3 = 0

ξ 1 3 - 2 ξ 2 3 + ξ 3 3 = 0 → ξ 1 3 = 2 ξ 2 3 - ξ 3 3

2 ξ 1 3 + ξ 2 3 - 3 ξ 3 3 = 0

Se aplicarmos o resultado no quadrado na primeira equação nós vamos obter:

- 6 ξ 2 3 + 3 ξ 3 3 + ξ 2 3 + 2 ξ 3 3 = 0 → - 3 ξ 2 3 + 3 ξ 3 3 = 0

ξ 2 3 = ξ 3 3

O mesmo valeria se substituísse na última equação.

Logo se aplicarmos o resultado que encontramos no quadrado nós vamos obter:

ξ 1 3 = ξ 2 3 = ξ 3 3

Então o auto vetor será:

ξ 3 = 1 1 1

Nos dando uma solução :

x 3 = c 3 1 1 1 e 4 t

Então a solução geral que é a soma dos três será:

x = c 1 1 - 2 1 e t + c 2 1 0 - 1 e - t + c 3 1 1 1 e 4 t

Resposta

x = c 1 1 - 2 1 e t + c 2 1 0 - 1 e - t + c 3 1 1 1 e 4 t

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