Enunciado

Um projétil é disparado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 49   m / s , do alto de uma torre com 150   m de altura.

(a)Quanto tempo irá levar para ele atingir a altura máxima?

(b)Qual é a altura máxima?

(c)Quanto tempo o projétil irá levar para passar pelo ponto de partida na descida?

(d)Qual será a velocidade quando ele passar pelo ponto de partida na descida?

(e)Quanto tempo o projétil irá levar para atingir o solo?

(f) Qual será a sua velocidade no impacto?

Passo 1

(a)Considerando pra todos os itens a aceleração da gravidade sendo g = 10   m / s 2 , pra determinarmos quanto tempo o projétil leva para ele atingir a altura máxima, podemos usar a equação horária da velocidade:

V = V 0 - g ∙ t

Temos que na altura máxima, a velocidade final, V , é nula. Assim:

0 = 49 - 10 t

10 t = 49

∴ t = 4,9   s

Passo 2

(b)Já sabendo o tempo que se leva pra atingir a altura máxima, podemos utilizar a equação horária da posição, que contém todos os dados que já temos pra fazer essa determinação. Temos a equação:

S = S 0 + V 0 ∙ t - g ∙ t 2 2

Vamos ter:

∆ S = V 0 ∙ t - g ∙ t 2 2

∆ S = 49 ∙ 4,9 - 10 ∙ 4,9 2 2

∴ ∆ S = 120,05   m

Passo 3

(c)Aqui também usamos a equação horária da posição, que contempla a incógnita t que queremos determinar e possui todos os outro dados que já temos.

Se o projétil partiu de uma altura de 150   m , atingiu altura máxima em 150 + 120,05 = 270 , 05   m . Esse entã é nosso valor pra S . Pra S 0 temos 150   m , que foi o ponto de partida da subida do projétil. Teremos:

270,05 = 150 + 49 ∙ t - 10 ∙ t 2 2

120,05 = 49 t - 5 t 2

5 t 2 - 49 t + 120,05 = 0

t = 49 + 49 2 - 4 ∙ 5 ∙ 120 , 05 2 ∙ 5

∴ t = 4,9   s

Isso também podia ser verificado pela seguinte lógica: se o projétil levou 4,9   s pra atingir a altura máxima, a partir do ponto de lançamento, ele obrigatoriamente vai ter de levar 4,9   s pra retornar à altura de lançamento, quando começar a cair.

Passo 4

(d)Utilizamos a equação horária da velocidade pra determinar isso, em que a velocidade inicial será zero, pois é o ponto de iminência da queda do projétil.

O tempo até o ponto de partida, já calculado, é de 4,9   s . Teremos:

V = V 0 - g ∙ t

V = 0 + 10 ∙ 4,9

∴ V = 49   m / s

Por uma lógica semelhante à proposta no item anterior, se a velocidade inicial do projétil no ponto de partida, ao subir, era de 49   m / s , a velocidade que ele vai ter quando cair e passar exatamente pelo ponto de onde partiu precisa ser exatamente a mesma!

Passo 5

(e)Considerando que o projétil partiu de uma altura de 150   m e, ao ser lançado, atingiu a altura máxima em 27 0,05   m , usamos este valor como o ponto em que ele começa a cair, até atingir o patamar 0   m , ou seja, o solo.

Pra isso, usamos a equação horária da posição. Teremos:

S = S 0 + V 0 ∙ t - g ∙ t 2 2

0 = 27 0,05 + 0 ∙ t - 10 ∙ t 2 2

10 ∙ t 2 2 = 270,05

5 t 2 = 27 0,05

∴ t ≅ 7,35   s

Passo 6

(f)Pra isso usamos a equação horária da velocidade, onde a velocidade final é nossa incógnita.

Considerando a velocidade inicial iguala zero, momento do início da queda, e o tempo pro impacto ocorrer de 7,35   s , temos que a velocidade no impacto será:

V = V 0 - g ∙ t

V = 0 + 10 ∙ 7,35

∴ V = 73,5   m / s

Resposta

(a) ∴ t = 4,9   s

(b) ∴ ∆ S = 120,05   m

(c) ∴ t = 4,9   s

(d) ∴ V = 49   m / s

(e) ∴ t ≅ 7,35   s

(f) ∴ V = 73,5   m / s

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