Enunciado

  1. Prove que, se f e g forem injetoras, então a composição f   °   g também o é.
  2. Prove que, se f e g forem injetoras, então f   °   g - 1 = g - 1   °   f - 1

Passo 1

Fala povo, tranquilin? Então, bora lá. Pra começar, em funções compostas, temos:

O que em português, significa dizer que os conjuntos serão:

  • A Domínio de g
  • B Imagem de g e Domínio de f
  • C Imagem de f
  • Se g for injetora, significa que nenhum elemento de B estará associado a mais de um elemento de A e se f também o for, nenhum elemento de C estará associado a mais de um elemento de B . Ok, mas e dai? Vamos tentar pensar em caminhos!

    Toda vez que eu escolho um único e específico valor de x , eu acho um único e específico valor de g x , incapaz de ser encontrado pra qualquer x diferente. Ao usar esse valor de g x dentro de f x , ou seja, ao fazermos f g x , já que f x é injetora, vou acabar encontrando também um único e específico valor de f g x , incapaz de ser encontrado pra qualquer x diferente.

    Passo 2

    Beleza povo, agora olha o seguinte. Temos que provar:

    f   °   g - 1 = g - 1   °   f - 1

    O primeiro passo pra provar isso é inverter a ponta de todas as setinhas da primeira imagem do passo anterior. Olha como fica:

    O que significa que os conjuntos, que antes eram:

  • A Domínio de g
  • B Imagem de g e Domínio de f
  • C Imagem de f
  • Se tornarão:

  • A Imagem de g - 1
  • B Imagem de f - 1 e Domínio de g - 1
  • C Domínio de f - 1

E galera, ao invertermos a ponta das setinhas, podemos compor f   °   g - 1 x usando os conjuntos invertidos, e logo as funções inversas! Só de inverter as setinhas e de descrever os conjuntos já tamos provando o que o enunciado pede, afinal a ordem de quem compõem quem mudou, agora temos f - 1 dentro de g - 1 , quando antes tínhamos g dentro de f . Mas se quisermos explicar por caminhos:

Usando um único e específico valor de x pertencente a C , eu acho um único e específico valor de f - 1 x , incapaz de ser encontrado pra qualquer x diferente. Ao usar esse valor de f - 1 x dentro de g - 1 x , ou seja, ao fazermos g - 1 f - 1 x , já que f - 1 x é injetora, vou acabar encontrando também um único e específico valor de g - 1 f - 1 x , incapaz de ser encontrado pra qualquer x diferente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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