Prove que:

  1. arc sen(-x) = -arc sen(x)
  2. arc tg(-x) = -arc tg(x)

Passo 1

Eai povoooo, tranquilão? Olha só, vamos primeiro tentar provar:

arc sen ⁡ - x = - arc sen ⁡ x

E pra isso, vamos olhar o círculo trigonométrico:

Como tamos começando a questão com função arcosseno, vamos chamar então, na figura acima:

- x = sen ⁡ α

Pois dessa forma, temos que:

α = arc sen ⁡ - x

Show de bola. Só que nota o seguinte, se quisermos ver o ângulo - α , teríamos:

Galerinha bonita, comparando as imagem, podemos ver que, de fato, vale a equação abaix:

sen ⁡ - α = - sen ⁡ α

Como chamamos “ - x = sen ⁡ α ”, se substituirmos, ficamos com:

sen ⁡ - α = - - x

sen ⁡ - α = x

E fazendo a inversa trigonométrica:

- α = arc sen ⁡ - x

Opa, tamos quase! Já que confirmamos no início da questão “ α = arc sen ⁡ - x ”, substituindo α ali do lado esquerdo, temos:

arc sen ⁡ - x = - arc sen ⁡ x

Tá provado!

Passo 2

Vamos provar agora

arc tg ⁡ - x = - arc tg ⁡ x

Pra isso pessoal, a ideia vai ser parecida, ok? Seja o círculo trigonométrico, considerando as tangentes agora:

Podemos começar chamando:

- x = tg ⁡ α

De forma que:

α = arc  tg ⁡ - x

E olhando para o ângulo - α agora, vemos que:

x = tg ⁡ - α

Fazendo a trigonométrica inversa correspondente, temos:

- α = arc tg ⁡ x

α = - arc tg ⁡ x

E igualando as duas expressões de α que encontramos, fechamos a questão!

arc tg ⁡ - x = - arc tg ⁡ x

Resposta

Provado ao longo dos passos 1 e 2

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