Prove que lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x não existe.

Passo 1

Podemos aplicar duas substituições para provar que o limite não existe:

Primeiramente vamos usar x = 1 π n de modo que quando x tende a zero, n deve tender ao infinito, assim:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x = lim n → + ∞ ⁡ sen ⁡ 1 1 π n = lim n → + ∞ ⁡ sen ⁡ π n = 0

Passo 2

Em seguida, podemos usar x = 1 2 n + 1 π 2 :

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x = lim n → + ∞ ⁡ sen ⁡ 1 1 2 n + 1 π 2 = lim n → + ∞ ⁡ sen ⁡ 2 n + 1 π 2 = 1

Passo 3

Como lim n → + ∞ ⁡ sen ⁡ π n ≠ lim n → + ∞ ⁡ sen ⁡ 2 n + 1 π 2 , o limite lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x não existe.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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