Enunciado

Prove que nos pontos de intersecção das cardioides r = a 1 + s e n   θ e r = b ( 1 - s e n   θ ) suas retas tangentes são perpendiculares para todos os valores de a e b .

Passo 1

Para provarmos que as retas tangentes são perpendiculares para todos os valores de a e b , o que devemos fazer é encontrar essas retas tangentes ou, no nosso caso, as derivadas das funções e ver se o produto entre elas resulta em - 1 , que é a condição de perpendicularidade. Segundo a seção 10.9 do Leithold, para descobrirmos as retas tangentes das funções polares, precisamos utilizar a seguinte relação:

t g   χ = r d r d θ

Para facilitar, vamos chamar de ( 1 ) a função r = a 1 + s e n   θ e de ( 2 ) a função r = b ( 1 - s e n   θ ) , beleza? Bora lá!

Passo 2

Para ( 1 ) , teremos:

t g   χ 1 = a 1 + s e n   θ a . cos ⁡ θ = 1 + s e n   θ cos ⁡ θ

Para 2 , teremos:

t g   χ 2 = b ( 1 - s e n   θ ) - b . cos ⁡ θ = - 1 - s e n   θ cos ⁡ θ

Por fim, multiplicando essas derivadas, teremos:

t g   χ 1 . t g   χ 2 = 1 + s e n   θ cos ⁡ θ . s e n   θ - 1 cos ⁡ θ

t g   χ 1 . t g   χ 2 = s e n 2 θ - 1 c o s ² θ = - c o s 2 θ c o s ² θ = - 1

C.Q.D.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre, por referência a uma figura, que o ângulo β entre as tangentes a duas curvas em um ponto de intersecção pode ser encontrado a partir da fórmula: t gβ = t gψ 2 - t gψ 1 1 + t g ψ 2t gψ 1 Quando
Encontre o ângulo no qual a cardioide r = a(1 - cos θ ) cruza o raio θ = π /2.
Encontre a centroide da região delimitada pelo eixo x e o arco da cicloide x = a t - s e nt ,y = a 1 - cos ⁡ t ,0 ≤ t ≤ 2 π
Encontre o ângulo entre o raio vetor da curva r = 2a sen 3 θ e sua tangente quando θ = π / 6 .
Desenhe a espiral hiperbólica r θ = 1. O que parece acontecer a ψ conforme a espiral gira ao redor da origem?Confirme seu achado no item (a) analiticamente.