1.

Encontre a equação paramétrica da reta normal à curva

γ t = ( 2 cos ⁡ t ,   1 + 2 sin ⁡ t )

no ponto 3 , 2 .

Resolução
2.

Considere as duas superfícies dadas por 2 x + 2 y + z = 1 e x 2 + y 2 = 1 + z .

1. Esboce, separadamente, as duas superfícies, mostrando as curvas de interseção com os planos coordenados.

2. Parametrize a curva C obtida pela interseção das 2 superfícies.

3. Calcule a reta tangente a C no ponto p = 1 , - 1,1 .

4. Existe algum ponto de C no qual a reta tangente passe na origem? Justifique.

Resolução
3.

O movimento de uma partícula no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ π 2 é descrito pela curva parametrizada σ t = cos ⁡ 2 t , sin ⁡ 2 t , 2 t π .

a) Encontre a equação paramétrica da reta tangente a curva no instante t = π 2 .

b) Suponha que no instante t = π 2 a partícula sai pela tangente em movimento retilíneo uniforme. Ache a posição da partícula no instante t = π .

Resolução
4.

Considere a curva C parametrizada por r t = sen ⁡ 4 t ,   2 b t + 1     t ∈ R , onde b ≠ 0 é uma constante. Para que valor de b a reta tangente a C no ponto ( 0 ,   1 ) passa pelo ponto ( 2 ,   5 ) ?

(a) 1 / 2

(b) 4

(c) - 1

(d) 0

(e) 8

Resolução
5.

Determine a reta normal da curva

γ t = 2 cos 3 ⁡ t ,   2 sen 3 ⁡ t

no ponto correspondente a t = π 4

Resolução
6.

Encontre a equação da reta tangente à trajetória dada, no ponto dado:

G t = t 2 , t ,   G ( 1 )

Resolução
7.

Determinar as equações paramétricas da reta tangente à elipse:

x 2 9 + y 2 4 = 1

no ponto:

T = 3 2 2 ,   2

Resolução
8.

Seja uma partícula cuja posição no espaço ao longo do tempo é descrita pela função vetorial s t = cos ⁡ 2 t , sen ⁡ 2 t ,   t , com t ∈ 0,2 π .

Encontre a reta tangente à curva descrita pela partícula no ponto 1 2 , 3 2 , π 6 .

Resolução
9.

Considere a curva C parametrizada por r t = se n ⁡ 4 t ,   2 b t + 1     t ∈ R , onde b ≠ 0 é uma constante. Para que valor de b a reta tangente a C no ponto ( 0 ,   1 ) passa pelo ponto ( 2 ,   5 ) ?

(a) 1 / 2

(b) 4

(c) - 1

(d) 0

(e) 8

Resolução
10.

Seja C a curva parametrizada por r t = sin ⁡ t , t 2 + 2 , t ,   t ∈ 0,2 π . Determine os valores de t 0 tais que a reta tangente à C no ponto r t 0 intercepta o eixo x .

a) 3

b) 5

c) 2 + 2

d) 2

e) 2 + 3

Resolução
11.

Sejam S 1 e S 2 as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 z = y - 1 2 - x 2

S 2 = x , y , z ∈ R 3 z = x 2 + 2 y 2 - 2

a) Encontre uma parametrização para a curva dada pela interseção de S 1 e S 2 .

b) Determine a equação da reta tangente à curva do passo anterior, no ponto 6 2 ,   0 ,   - 1 2 .

Resolução
12.

Seja Γ   : 0,2 π → R 2 a curva dada por Γ t = x t , sen ⁡ t ,   1 + cos ⁡ t . Sabendo que a imagem de Γ está contida na superfície de equação z - 1 2 - y 2 4 = x , determine x t e encontre uma equação para a reta tangente a Γ em Γ π 3

Resolução
13.

Considere as duas superfícies dadas por 2 x + 2 y + z = 1 e x 2 + y 2 = 1 + z .

2. Parametrize a curva C obtida pela interseção das 2 superfícies.

3. Calcule a reta tangente a C no ponto p = 1 , - 1,1 .

4. Existe algum ponto de C no qual a reta tangente passe na origem? Justifique.

Resolução
14.

O movimento de uma partícula de massa unitária no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ π / 2 é descrito pela curva parametrizada r t = cos ⁡ 2 t ,   s e n   2 t , 2 π t .

  1. Ache a equação paramétrica (ou vetorial) da reta tangente à curva no instante t = π / 2 .
  2. Suponha que no instante t = π / 2 a partícula sai pela tangente em movimento retilíneo uniforme. Ache a distância total percorrida pela partícula do instante t = 0 até o instante t = π .
Resolução
15.

Considere a esfera x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1 e a parte de cone x 2 + y 2 - z 2 = 0 com z ≥ 0 . Seja C a curva dada pela intersecção destas superfícies.

  1. Determine uma parametrização para a curva C , explicitando seu domínio.
  2. Escreva a equação da reta tangente à curva no ponto P = 0 ,   1 ,   1 .
  3. Determine os pontos sobre a curva C mais distantes da origem.
Resolução
16.

Considere a curva parametrizada espacial

α t = sen ⁡ 2 t , 3 cos 2 ⁡ t , 4 sen ⁡ t   ,   t ∈ R

Calcule α ( 0 ) e a equação paramétrica da reta tangente ao traço de α em α ( 0 ) .

Resolução
17.

Considere a curva C parametrizada por: x = ln ⁡ t y = t ,   t > 0 . A reta tangente a C no ponto 0,1 corta o eixo x no ponto:

a)   - 2,0

b)   ( - 1 / 2 ,   0 )

c)   2 ,   0

d) ( ln ⁡ 2 , 0 )  

e)   1,0  

f) Nenhuma das alternativas

Resolução
18.

Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva definida pela interseção das superfícies x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 - z = 0 no ponto de coordenadas 2 ,   2 ,   4 .

Resolução
19.

Considere a curva C parametrizada pelas equações x = t 3 + 3 t 2 + 2 t e y = 3 - 2 t - t 2 , possui um ponto de auto-inserção que está na reta y = 3 . Qual é este ponto e quais são as equações das retas tangentes a C em tal ponto?

a) 0,3   e   y = 3 ± x

b) 0,3   e   y = 3 ± 3 x

c) 1,3   e   y = 3 ± 2 x - 1

d) 1,3   e   y = 3 ± 2 x - 1

e) Nenhuma das alternativas

Resolução
20.

Sejam f t = t , 1 , e - t e g t = e t , 0 , - sen ⁡ t e duas funções vetoriais. Considere a curva C definida por

r t = f t   × g t

  1. Encontre a função vetorial r t . Ou seja, calcule o produto vetorial acima.
  2. Encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva C no ponto 0,1 , - 1 .
  3. Calcule a curvatura de C mesmo ponto 0,1 , - 1 .
Resolução
21.

Considere a curva C definida pela função vetorial

r t = e t cos ⁡ 3 t ,   e t s e n 3 t ,   e 2 t  

onde t ≥ 0 .

Encontre equações simétricas para a reta tangente à curva C no ponto P 1,0 , 1 .

Resolução
22.

Seja C a curva dada pela interseção dos gráficos das funções

f x , y = x 2 - y ²

g x , y = 1 - x 2 - 2 y ²

  1. Determine uma parametrização para C .
  2. Determine, caso existam, todos os pontos de C nos quais a reta tangente é paralela ao eixo O x . Escreva a equação da reta tangente em tais pontos.
Resolução
23.

Considere a curva C definida pela função vetorial

r t = 3 t   s e n   t ,   3 t cos ⁡ t ,   - t  

onde t ≥ 0 .

Encontre equações simétricas para a reta tangente à curva C no ponto P 0 , - 3 π , - π .

Resolução
24.

Qual o ponto da curva C , parametrizada por

r t = 4 t cos ⁡ t , t sen ⁡ t , t ,   t ∈ 0,2 π

No qual a reta tangente a C contém o ponto π 2 , 0,0 ?

  1. - 4 π , 0 , π
  2. 8 π , 0 , 2 π
  3. 0 , - 3 π 2 , 3 π 2
  4. 0 , π 2 , π 2
  5. 2 π 2 , 2 π 8 , π 4
Resolução
25.

A imagem da curva γ t está contida na interseção das superfícies

x 2 + y 2 = 2

x 2 + y 2 + z 3 = 3

Se γ t 0 = ( 1,1 , 1 ) e γ ' t 0 ≠ 0 , a reta tante a γ em γ t 0 é dada pela equação

a x , y , z = 1,1 , 1 + λ 0,6 , 6 ,   λ ∈ R  

b x , y , z = 1,1 , 1 + λ 6,6 , 0 ,   λ ∈ R  

c x , y , z = 1,1 , 1 + λ 6,6 , 6 ,   λ ∈ R  

d x , y , z = 1,1 , 1 + λ 0,1 , - 1 ,   λ ∈ R  

e x , y , z = 1,1 , 1 + λ - 1,1 , 0 ,   λ ∈ R  

Resolução
26.

Considere

γ t = 2 2 cos ⁡ 2 t , 3 2 sen ⁡ 2 t , e t - π 8   , 0 ≤   t ≤ π 4

Exiba a equação paramétrica da reta r tangente γ em ( 2,3 , 1 ) .

Resolução
27.

Considere

γ t = 2 2 cos ⁡ 2 t , 3 2 sen ⁡ 2 t , e t - π 8   , 0 ≤   t ≤ π 4

Considere a curva plana parametrizada β , obtida pela projeção de γ no plano x y .

  1. Encontre uma curva de nível C (no plano x y ) dada por f x , y = 0 tal que o traço de β está contido em C . Explicite f ( x , y ) .
  2. Escreva o vetor normal a C no ponto ( 2,3 ) e exiba a equação cartesiana da reta tangente à C em ( 2,3 ) .
Resolução
28.

Considere a curva C parametrizada por

r t = 1 t 2 , log ⁡ t   ,   t > 0

(logarítimo na base e ).

O ponto ( 0,0 ) pertence a reta tangente a curva C no ponto r ( t 0 ) . Assinale o valor de t 0 :

  1. e 2
  2. e - 2
  3. e - 1 2
  4. e - 1
  5. e
Resolução
29.

Uma parametrização da reta tangente à curva espacial definida por

γ t = sen ⁡ t ,   t 2 e - t , 4 3 + e t   ,   t ∈ R

No ponto P = ( 0,0 , 8 ) é:

  1. σ t = t , 0,8 + t ,   t ∈ R
  2. σ t = t , 0 , t ,   t ∈ R
  3. σ t = 0,0 , 8 + t ,   t ∈ R
  4. σ t = 1,0 , 1 + 8 t ,   t ∈ R
  5. Não existe reta tangente passando por P .
Resolução
30.

Considere a superfície S dada por

x 2 + 2 y 2 - 3 z 2 = 3

  1. Enconte uma equação do plano tangente a S no ponto ( 2 , - 1,1 ) .
  2. Encontre uma equação da reta normal à superfície S no ponto ( 2 , - 1,1 ) .
Resolução
31.

Considere a superfície S de equação 8 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 14 . Seja C a curva interseção de S com o plano y = 2 e L a reta tangente a C no ponto P = 1 , 2,2 . Marque a opção que identifica a superfície S , a curva C e dá uma parametrização de L , nessa ordem:

  1. Paraboloide circular, parábola e r t = 1 + t ,   2 ,   - 4 t - 2 ,   t ∈ R
  2. Elipsoide, elipse e r t = 1 + t ,   2 ,   - 4 t + 2 ,   t ∈ R
  3. Elipsoide, elipse e r t = 1 + t ,   1 ,   - 4 t - 2 ,   t ∈ R
  4. Paraboloide circular, circunferência e r t = 1 + t ,   2 ,   - 4 t + 2 ,   t ∈ R
  5. Paraboloide elíptico, elipse e r t = 1 + t ,   2 ,   - 4 t - 2 ,   t ∈ R
Resolução
32.

O movimento de uma partícula no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ π 2 é descrito pela curva parametrizada r t = cos ⁡ 2 t , sin ⁡ 2 t , 2 t π .

a) Encontre a equação paramétrica da reta tangente a curva no instante t = π 2 .

b) Suponha que no instante t = π 2 a partícula sai pela tangente em movimento retilíneo uniforme. Ache a posição da partícula no instante t = π .

Resolução

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