Lista de Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva
Considere as duas superfícies dadas por e .
1. Esboce, separadamente, as duas superfícies, mostrando as curvas de interseção com os planos coordenados.
2. Parametrize a curva obtida pela interseção das 2 superfícies.
3. Calcule a reta tangente a no ponto .
4. Existe algum ponto de no qual a reta tangente passe na origem? Justifique.
Ver solução completaO movimento de uma partícula no intervalo de tempo é descrito pela curva parametrizada .
a) Encontre a equação paramétrica da reta tangente a curva no instante .
b) Suponha que no instante a partícula sai pela tangente em movimento retilíneo uniforme. Ache a posição da partícula no instante .
Ver solução completaConsidere a curva parametrizada por , onde é uma constante. Para que valor de a reta tangente a no ponto passa pelo ponto ?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Ver solução completaEncontre a equação da reta tangente à trajetória dada, no ponto dado:
Ver solução completaSeja uma partícula cuja posição no espaço ao longo do tempo é descrita pela função vetorial , com .
Encontre a reta tangente à curva descrita pela partícula no ponto .
Ver solução completaConsidere a curva parametrizada por , onde é uma constante. Para que valor de a reta tangente a no ponto passa pelo ponto ?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Ver solução completaSejam e as superfícies
a) Encontre uma parametrização para a curva dada pela interseção de e .
b) Determine a equação da reta tangente à curva do passo anterior, no ponto .
Ver solução completaSeja a curva dada por . Sabendo que a imagem de está contida na superfície de equação , determine e encontre uma equação para a reta tangente a em
Ver solução completaConsidere as duas superfícies dadas por e .
2. Parametrize a curva obtida pela interseção das 2 superfícies.
3. Calcule a reta tangente a no ponto .
4. Existe algum ponto de no qual a reta tangente passe na origem? Justifique.
Ver solução completaO movimento de uma partícula de massa unitária no intervalo de tempo é descrito pela curva parametrizada
- Ache a equação paramétrica (ou vetorial) da reta tangente à curva no instante .
- Suponha que no instante a partícula sai pela tangente em movimento retilíneo uniforme. Ache a distância total percorrida pela partícula do instante até o instante .
Considere a esfera e a parte de cone com . Seja a curva dada pela intersecção destas superfícies.
- Determine uma parametrização para a curva , explicitando seu domínio.
- Escreva a equação da reta tangente à curva no ponto .
- Determine os pontos sobre a curva mais distantes da origem.
Considere a curva parametrizada espacial
Calcule e a equação paramétrica da reta tangente ao traço de em .
Ver solução completaConsidere a curva parametrizada por: . A reta tangente a no ponto corta o eixo no ponto:
a)
b)
c)
d)
e)
f) Nenhuma das alternativas
Ver solução completaEncontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva definida pela interseção das superfícies e no ponto de coordenadas .
Ver solução completaConsidere a curva parametrizada pelas equações e , possui um ponto de auto-inserção que está na reta . Qual é este ponto e quais são as equações das retas tangentes a em tal ponto?
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das alternativas
Ver solução completaSejam e e duas funções vetoriais. Considere a curva definida por
- Encontre a função vetorial . Ou seja, calcule o produto vetorial acima.
- Encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva no ponto .
- Calcule a curvatura de mesmo ponto .
Considere a curva definida pela função vetorial
onde .
Encontre equações simétricas para a reta tangente à curva no ponto .
Ver solução completaConsidere a curva definida pela função vetorial
onde .
Encontre equações simétricas para a reta tangente à curva no ponto .
Ver solução completaQual o ponto da curva , parametrizada por
No qual a reta tangente a contém o ponto ?
A imagem da curva está contida na interseção das superfícies
Se e , a reta tante a em é dada pela equação
Ver solução completa
Considere
Considere a curva plana parametrizada , obtida pela projeção de no plano .
- Encontre uma curva de nível (no plano ) dada por tal que o traço de está contido em . Explicite .
- Escreva o vetor normal a no ponto e exiba a equação cartesiana da reta tangente à em .
Considere a curva parametrizada por
(logarítimo na base ).
O ponto pertence a reta tangente a curva no ponto . Assinale o valor de :
Uma parametrização da reta tangente à curva espacial definida por
No ponto é:
- Não existe reta tangente passando por .
Considere a superfície dada por
- Enconte uma equação do plano tangente a no ponto .
- Encontre uma equação da reta normal à superfície no ponto .
Considere a superfície de equação . Seja a curva interseção de com o plano e a reta tangente a no ponto . Marque a opção que identifica a superfície , a curva e dá uma parametrização de , nessa ordem:
- Paraboloide circular, parábola e
- Elipsoide, elipse e
- Elipsoide, elipse e
- Paraboloide circular, circunferência e
- Paraboloide elíptico, elipse e
O movimento de uma partícula no intervalo de tempo é descrito pela curva parametrizada .
a) Encontre a equação paramétrica da reta tangente a curva no instante .
b) Suponha que no instante a partícula sai pela tangente em movimento retilíneo uniforme. Ache a posição da partícula no instante .
Ver solução completaSeja a curva parametrizada por . Determine os valores de tais que a reta tangente à no ponto intercepta o eixo .
a)
b)
c)
d)
e)
Ver solução completaSeja a curva dada pela interseção dos gráficos das funções
- Determine uma parametrização para .
- Determine, caso existam, todos os pontos de nos quais a reta tangente é paralela ao eixo . Escreva a equação da reta tangente em tais pontos.