Enunciado

Prove as quatro propriedades algébricas dos logaritmos do Teorema 0.5.2.

Passo 1

Começaremos provando a seguinte propriedade:

l o g a x y = l o g a x + l o g a y

Para isso, vamos assumir que:

m = l o g a x

x = a m

E,

n = l o g a y

y = a n

Multiplicando ambos os lados, temos que:

x y = ( a m ) ( a n )

x y = a m + n

Aplicando a função l o g a nos dois lados da igualdade:

log a ⁡ x y = log a ⁡ a m + n

log a ⁡ x y = m + n log a ⁡ a

l o g a x y = ( m + n ) ( 1 )

l o g a x y = ( m + n )

Substituindo m e n na expressão que chegamos, temos que:

l o g a x y = l o g a x + l o g a y

Passo 2

Agora, provaremos a seguinte propriedade:

l o g a x y = l o g a x - l o g a y

Para isso, vamos assumir que:

m = l o g a x

x = a m

E,

n = l o g a y

y = a n

Dividindo ambos os lados, temos que:

x y = a m a n

x y = a m - n

Aplicando a função l o g a nos dois lados da igualdade:

l o g a x y = log a ⁡ a m - n

l o g a x y = m - n log a ⁡ a

l o g a x y = ( m - n ) ( 1 )

l o g a x y = ( m - n )

Substituindo m e n na expressão que chegamos, temos que:

l o g a x y = l o g a x - l o g a y

Passo 3

Agora, provaremos a seguinte propriedade:

l o g a x n = n   l o g a

Para isso, vamos assumir que:

m = l o g a x

x = a m

Elevando ambos os lados da igualdade por n , temos que:

x n = a m n

x n = a m n

Aplicando a função l o g a nos dois lados da igualdade:

l o g a x n = l o g a a m n

l o g a x n = m n   l o g a a

l o g a x n = m n

Substituindo m e n na expressão que chegamos, temos que:

l o g a x n = n   l o g a

Passo 4

Por fim, para provarmos que:

l o g b 1 c = - l o g b c

Basta utilizarmos reescrevermos o l o g da seguinte forma:

l o g b 1 c = l o g b c - 1

Logo,

l o g b c - 1 = - 1   l o g b c = - l o g b c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Reescreva a expressão como um único logaritmo.
Resolva em x sem usar uma calculadora.
Resolva em x sem usar uma calculadora.
Resolva em x sem usar uma calculadora.
Em cada parte, identifique o domínio e a imagem da função e, então, esboce o gráfico da função sem utilizar um recurso computacional.