Enunciado

Prove o Teorema 7.2.2 (ii).

Passo 1

A questão pede para provarmos a parte (i) do teorema 7.2.2 que basicamente diz que se f for contínua e decrescente no intervalo fechado [ a , b ] , então sua inversa f^(- 1) também será contínua no intervalo [f (b) , f (a)] .

Para provarmos que f^(- 1) é contínua no intervalo [f (b) , f (a)] , temos que provar que para todo r nesse intervalo, existe um ϵ > 0 suficientemente pequeno existe um delta > 0 tal que

s e |y - r| < delta => |f^(- 1) (y) - f^(- 1) (r)| < ϵ

Por simplicidade, vamos chamar s = f^(- 1) (r) . Assim, r = f ( s ) . Desta forma, queremos mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um delta > 0 tal que

s e |y - r| < delta => |f^(- 1) (y) - s| < ϵ

Passo 2

Na parte (i) (exercício 41), provamos que f^(- 1) é decrescente. Assim, como s está no domínio de f , temos que a < s < b . Desta forma, temos que

a <= s - ϵ < s < s + ϵ <= b

Mas como f é decrescente por hipótese:

f (a) >= f (s - ϵ) > f (s) > f (s + ϵ) >= f ( b )

Ou ainda,

f (b) <= f (s + ϵ) < r < f (s - ϵ) <= f ( a )

Passo 3

O que nós precisamos é achar um delta em função de ϵ tal que

s e |y - r| < delta => |f^(- 1) (y) - s| < ϵ

Para isso, vamos escolher

delta = min { f (s - ϵ) - r , r - f (s + ϵ) }

Neste caso, temos que

delta <= f (s - ϵ) - r e delta <= r - f (s + ϵ)

Ou ainda,

f (s - ϵ) >= r + delta e f (s + ϵ) <= r - delta

Mas |y - r| < delta ⟺ r - delta < y < r + delta . Assim, usando as desigualdades logo acima:

f (s + ϵ) <= r - delta < y < r + delta <= f (s - ϵ)

Como f^(- 1) é decrescente (parte (i)), temos que

f (s + ϵ) < y < f (s - ϵ) => f^(- 1) (f (s + ϵ)) > f^(- 1) (y) > f^(- 1) (f (s - ϵ))

Assim, temos que

s - ϵ < f^(- 1) (y) < s + ϵ => |f^(- 1) (y) - s| < ϵ

Desta forma, com a escolha delta = min { f (s - ϵ) - r , r - f (s + ϵ) } , para todo ϵ > 0 ocorre

s e |y - r| < delta => |f^(- 1) (y) - s| < ϵ

Como isso acontece, vemos que f^(- 1) é contínua!

Resposta

Demonstração.

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