Enunciado

Prove que o triângulo com vértices em - 8 ,   1 , - 1 ,   - 6 e 2 ,   4 é isósceles e ache sua área.

Passo 1

Para saber se o triângulo é isósceles, precisamos encontrar dois lados com medidas iguais. Para isso vamos usar a fórmula de distância entre dois pontos:

d = x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2

Já para achar sua área, vamos utilizar uma técnica conhecida como “falso determinante”: dados três pontos x 1 ,   y 1 , x 2 ,   y 2 e x 3 ,   y 3 , definimos o falso determinante arranjando as coordenadas em sequência e repetindo o primeiro ponto ao final e multiplicando e somando da seguinte forma:

D = x 1 x 2 x 3 x 1 y 1 y 2 y 3 y 1 = x 1 ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y 3 + x 3 ⋅ y 1 - x 2 ⋅ y 1 + x 3 ⋅ y 2 + x 1 ⋅ y 3

E a área do triângulo será

A = D 2

Passo 2

Para começar, vamos marcar os pontos no gráfico.

Passo 3

Agora, vamos calcular os comprimentos de cada lado e compará-los:

A B - = - 8 - - 1 2 + 1 - - 6 2 = 98

B C - = - 1 - 2 2 + - 6 - 4 2 = 109

A C - = - 8 - 2 2 + 1 - 4 2 = 109

Portanto, B C - = A C - ⇒ o triângulo é isósceles.

Passo 4

Para achar a área, fazemos

D = - 8 - 1 2 - 8 1 - 6 4 1 = - 8 ⋅ - 6 + - 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 1 - - 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ - 6 + - 8 ⋅ 4

D = 91

Passo 5

E finalmente

A = 91 2

A = 91 2   u .   a .

Resposta

A = 91 2   u .   a .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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