Deduza a fórmula (3).

∫ e a u sen ⁡ n u d u = e a u a 2 + n 2 a sen ⁡ n u - n cos ⁡ n u + C

Passo 1

Vamos integrar utilizando o método da integração por partes. Chamando nosssa integral de I , vamos escolher w = sen ⁡ n u e d v = e a u d u . Usamos v   e w ao invés do usual u e v pois o enunciado já usa como variável a letra u . Então:

d w = n cos ⁡ n u ; v = e a u a

A nosssa integral fica, usando a fórmula da integração por partes:

∫ w   d v = w v - ∫ v   d w ⇒ I = e a u a sen ⁡ n u - ∫ n e a u a cos ⁡ n u d u

Passo 2

Agora vamos integrar n e a u a cos ⁡ n u também por partes. Escolhemos w = cos ⁡ n u e d v = n e a u a , e agora temos:

d w = - n sen ⁡ n u ; v = n e a u a 2

Então temos agora:

I = e a u a sen ⁡ n u - ∫ n e a u a cos ⁡ n u d u = e a u a sen ⁡ n u - w v - ∫ v   d w

⇒ I = e a u a sen ⁡ n u - n e a u a 2 cos ⁡ n u + ∫ n e a u a 2 - n sen ⁡ n u   d u

⇒ I = e a u a sen ⁡ n u - e a u a 2 cos ⁡ n u - n 2 a 2 ∫ e a u sen ⁡ n u   d u

Perceba que a nossa integral I apareceu novamente do outro lado. Passando então pro lado esquerdo:

1 + n 2 a 2 I = e a u a sen ⁡ n u - n e a u a 2 cos ⁡ n u ⇒ a 2 + n 2 a 2 I = e a u a 2 a sen ⁡ n u - n cos ⁡ n u

⇒ I = e a u a 2 + n 2 a sen ⁡ n u - n cos ⁡ n u + C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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