Enunciado

3. Prove que se

∑ k = 0 + ∞ a k

For condicionalmente convergente e se s for um real qualquer, então existirá uma reordenação desta série com soma s .

Passo 1

Bem, só o fato de uma série ser condicionalmente convergente, já sabemos algumas coisas sobre ela:

  1. Essa série converge para um valor desconhecido C :
  2. ∑ k = 0 + ∞ a k = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + … = C

  3. Se ela é condicionalmente convergente, ela não será absolutamente convergente, o que significa que a série:

∑ k = 0 + ∞ a k = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + … = ∞

Ora dessa segunda, podemos dizer que os termos são então alternantes entre positivo e negativo porque se fosse só positivo, não ia precisar do módulo...

∑ k = 0 + ∞ a k = ∑ k = 0 + ∞ a k = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + … = C

E se ela fosse só negativa, também não ia...

∑ k = 0 + ∞ a k = - ∑ k = 0 + ∞ a k = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + … = - C

Também não adianta ter um número finito de números negativos e infinitos de positivos, ou vice versa, porque daí era só retirar esses números finitos da parada e o restante ainda seria infinito só de um sinal, forçando a série ser absolutamente convergente, saca?

Então a única opção é a série ser alternada, ou seja, ter uma quantidade infinita de positivos e outra infinita de negativos.

Passo 2

Beleza! Então vamos supor que a nossa série tenha

∑ k = 0 + ∞ a k

Valores alternados e ela convergem para C .

Agora, imagine que somemos todos os positivos primeiro, para depois somar os negativos. É uma ordem possível, mas será que ela gera o mesmo valor C ?

Não, neh? Porque se tem infinitos valores positivos, quando é que a gente vai começar a somar os negativos? NUNCA! Forçando a série ter outro valor, tipo s . Saca?

Do mesmo jeito que a gente está somando só os positivos, poderíamos somar só os negativos, aí ela teria outro valor ( s 1 , por exemplo). Ou ainda poderíamos somar em outra ordem qualquer fazendo ela convergir para um número qualquer (ou talvez nem convergir), sacou?

Resposta

Questão de demonstração.

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