Enunciado

Qualquer secção de um espelho parabólico feita por um plano que passa pelo eixo do espelho é um segmento de parábola. A altura do segmento é 12 cm e o comprimento da base é 18 cm. Uma secção do espelho feita por um plano perpendicular ao eixo é uma circunferência. Ache a circunferência da secção plana circular se o plano perpendicular ao eixo estiver a 3 cm do vértice.

Passo 1

Bom, vamos supor q o espelho está com a sua concavidade virada para cima, então ao passarmos um plano vertical pelo eixo, cortaremos ele e obteremos uma parábola nesse corte. E se cortarmos horizontalmente, obteremos uma circunferência. Com isso, o enunciado nos dá algumas medidas dessa parábola. Então vamos usar a equação da parábola onde seu eixo é o eixo y:

x - h 2 = 4 p ( y - k )

Como h = 0 e k = 0 , pois colocamos o vértice na origem:

x 2 = 4 p y

Passo 2

O enunciado nos deu a altura, 12cm, então temos uma coordenada y, e o outro dado é o comprimento da base, 18cm, então temos uma coordenada x. Substituindo na equação da parábola:

18 2 = 4 p 12

48 p = 324

p = 324 48 = 27 4

Nossa equação da parábola então é:

x 2 = 27 y

Passo 3

E agora, podemos calcular a circunferência do corte horizontal, vamos substituir os 3 cm dados no enunciado em y, que será a altura onde o plano horizontal irá passar para formar a circunferência:

x 2 = 27 ( 3 )

x 2 = 81

x = ± 81 = ± 9

E então a distância entre os dois valores de x na parábola pode ser calculada medindo a diferença, assim obtemos um segmento de reta que vai de um valor a outro de x:

d = 18

Esse será o diâmetro da nossa circunferência, e agora pela equação do comprimento da circunferência:

C = 2 π d 2 = π d = 18 π

Resposta

C = 18 π

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