Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

36.   f x 12 - x + 5 2   s e   x ≤ - 3 5 - x   s e - 3 < x ≤ - 1 100 - x - 7 2   s e - 1 < x ≤ 17

Passo 1

Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.

E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.

Passo 2

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

Para x ≤ - 3 temos:

f x = 12 - x + 5 2

f ' x = - 2 ( x + 5 )

Para - 3 < x ≤ - 1 temos:

f x = 5 - x

f ' x = - 1

Para - 1 < x ≤ 17 yemos:

f x = 100 - x - 7 2

f ' x = 1 2 100 - x - 7 2 - 1 2 ⋅ - 2 x - 7

= - 100 - x - 7 2 - 1 2 ⋅ x - 7

Passo 3

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

Podemos ver que nossa derivada para - 3 < x ≤ - 1 deu uma constante, logo f ' ( x ) para - 3 < x ≤ - 1 nunca é igual a 0.

Para x ≤ - 3 :

- 2 x + 5 = 0

⇒ x + 5 = 0

⇒ x = - 5

Para - 1 < x ≤ 17 :

- 100 - x - 7 2 - 1 2 ⋅ x - 7 = 0

A única possibilidade dessa expressão ser 0 é se:

x - 7 = 0

⇒ x = 7

Passo 4

Então achamos os valores de x que é ponto crítico de f , que é x = - 5 e x = 7 . Agora vamos ver o valor de f para tais pontos, jogando os x que encontramos na nossa função.

Para x ≤ - 3 :

f x = 12 - x + 5 2

f - 5 = 12 - - 5 + 5 2

= 12

Para - 1 < x ≤ 17 :

f x = 100 - x - 7 2

f 7 = 100 - 7 - 7 2

= 100

= 1 0

Passo 5

Agora vamos avaliar para quais intervalos f ( x ) é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x f ' ( x ) é positiva e para quais valores ela é negativa.

f ' x = - 2 ( x + 5 )   s e     x < - 3 - 1   s e   - 3 < x < - 1 - 100 - x - 7 2 - 1 2 ⋅ x - 7   s e     - 1 < x < 17

Vemos que para:

    x < - 5 → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor um qualquer menor que - 5 .

- 5 < x < - 1 → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

- 1 < x < 7 → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

7 < x < 17 → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

Olhando essas avaliações você pode ver que - 1 é extremo relativo de f x , pois como f ' ( - 1 ) apresenta uma descontinuidade ele é número crítico de f .

Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é crescente antes de - 5 e decrescente depois do mesmo, logo f x = 12 é ponto máximo, como a função é decrescente antes de - 1 e crescente depois do mesmo, logo f x = 6 é ponto mínimo, como a função é crescente antes de 7 e decrescente depois do mesmo, logo f x = 10 é ponto máximo.

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Passo 6

Abaixo podemos ver o gráfico da função.

Resposta

  1. f - 5 = 12 , f - 1 = 6 e f 7 = 10 são extremos relativos.
  2. Em x = - 5 , em x = - 1 e em x = 7 ocorre extremo relativo.
  3. f ( x ) é crescente em - ∞ ,   5 , - 1 ,   7
  4. f ( x ) é decrescente em - 5 ,   - 1 , 7 ,   17
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