Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 53
Quantas retas tangentes à curva passam pelo ponto ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar quantas retas tangentes à curva passam pelo ponto e em quais pontos essas retas tocam à curva.
Uma forma de descobrir isso é verificar a existência de pontos de tangência .
Uma reta pode ser dada por , onde é a inclinação da reta e o valor onde ela “corta” o eixo . A inclinação dessa reta também pode ser dada por , onde é o ponto de tangência.
Então, o que nós vamos fazer é derivar para descobrir a inclinação da reta e substituir essa inclinação, junto com o ponto de tangência, na equação geral da reta.
Vamos lá!
Passo 2
A derivada de da curva será obtida pela Regra do Quociente, assim:
Logo, temos que .
O ponto pertence à reta , então substituindo na equação da reta temos:
Assim, a equação da reta pode ser escrita somente em função de . Basta substituir na equação da reta:
Bacana, não é? 😊
Passo 3
O ponto pertence à reta e à curva, assim, podemos substituir o ponto em qualquer uma das funções. Substituindo na função, temos:
Então, substituindo em , vamos ter:
Agora só falta substituir o coeficiente angular, , nessa equação. Assim, temos:
Tranquilo até aqui? 😬
Passo 4
Resolvendo essa equação do 2º em obtemos:
Ou
.
Logo, para , teremos:
E para , teremos:
Portanto, temos dois pontos de tangência e, assim, temos duas retas tangentes à curva e que passam pelo ponto .
Os pontos de tangência são e .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
Os pontos de tangência são e .
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