Enunciado

Quão rápido estará o ângulo entre o chão e a escada variando no Exemplo 2   quando a parte de baixo da escada estiver a 3   m da parede?

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Queremos saber a que velocidade esta variando o ângulo entre o chão e a escada no exemplo 2 , quando a parte de baixo da escada estiver a 3   m da parede. Mas bora resfrescar a memória primeiro!

No Exemplo 2 , temos uma escada de 5 metros cuja base desliza afastando-se da parede à taxa de 1 m/s. Seja y a altura do topo da escada e x a distância da base da escada à parede, temos a seguinte situação:

Passo 2

Assim, temos a relação:

x 2 + y 2 = 25

e

cos ⁡ θ = x 5

Derivando-a em função do tempo:

- sen ⁡ θ ×   θ ' ( t ) = x ' ( t ) 5

Passo 3

Quando a parte de baixo da escada estiver a 3   m da parede, x = 3 :

x 2 + y 2 = 25

9 + y 2 = 25

y = 4   m

s e n θ = y 5 = 4 5

E como x ' t = 1 m/s então, sua derivada:

- 4 5 θ ' ( t ) = 1 5

θ ' t = - 1 4

Logo, o ângulo decresce (por conta do sinal negativo) a uma taxa de 1 4 rad/s.

Resposta

O ângulo decresce a uma taxa de 1 4 rad/s.

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