Enunciado

Use a regra da cadeia para demonstrar o que segue.

a) A derivada de uma função par é uma função ímpar.

b) A derivada de uma função ímpar é uma função par.

Passo 1

Devemos mostrar que a derivada de uma função par é ímpar e que a derivada de uma função ímpar é par. Para isso, vamos relembrar o que significa uma função ser par ou ímpar:

Uma função é par se f - x = f ( x ) . Por outro lado, uma função é ímpar se f - x = - f ( x ) .

Para demonstrar o que o foi pedido, pegaremos estas relações e as derivaremos pela regra da cadeia.

Passo 2

Seja f uma função par, então vale f x = f ( - x ) . Derivando essa equação:

f ' x = f ' - x ⋅ - x ' = - f ' ( - x )

Assim, como f ' x = - f ' ( - x ) , vemos que se f é par, f ' é ímpar.

Passo 3

Seja agora f uma função ímpar, assim f x = - f ( - x ) . Podemos derivar essa expressão:

f ' x = - f ' - x ⋅ - x ' = f ' ( - x )

Como obtivemos que f ' x = f ' ( - x ) , vemos que se f é ímpar, f ' é par!

Resposta

Demonstração.

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59. Use a tabela para estimar o valor de h ' 0,5 , onde h x = f g x .
60. Se g x = f f x , use a tabela para estimar o valor de g ' 1 .
41 – 50 Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível.50. y = arctg ⁡ cos ⁡ θ
Encontre a derivada da função. y = 4 sec ⁡ 5 x
Encontre a derivada da função. y = x + x