Questão 15. Calcule a integral indefinida

∫ e x cos  ⁡ x   d x  

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não obterá bom resultado.
  2. Note que o integrando e x cos  ⁡ x   não aparece da forma [( a 2 - x 2 ), ( a 2 + x 2 ), ( x 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X )e q x são polinômios

Obs; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Passo 2

O segundo passo importante é analisar a formula de integração por partes

∫ f x g ' ( x ) d x = f x g ( x ) - ∫ f ' x g ( x ) dx

Note que devemos encontrar todos os termos da formula , então façamos;

f(x)= e x           d e r i v a n d o     f ' x = e x

g’(x) = cos x integrando g(x)= sen x

Substituindo na formula, temos;

∫ e x cos  ⁡ x   d x   = e x s e n x   - ∫ e x s e n x   d x  

Passo 3

Note que devemos aplicar novamente integração por partes nessa integral;

∫ e x s e n   x   d x

Seja f(x)=   e x   d e r i v a n d o f’(x)=   e x

g’(x)= sen x integrando g(x)= -cos x

Usando esses termos na formulas temos

∫ e x s e n   x   d x = - e x c o s x + ∫ e x c o s   x   d x  

Substituindo na equação geral, temos;

∫ e x cos  ⁡ x   d x   = e x s e n x   - ( - e x c o s x + ∫ e x c o s x d x     )

  = ( e x s e n x   + e x c o s x )/2 + C.

Resposta

( e x s e n x   + e x c o s x )/2 + C.

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