Enunciado

Questão 15. Calcule a integral indefinida

int e^x cos x d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não obterá bom resultado.
  2. Note que o integrando e^x cos x não aparece da forma [( sqrt(a^2 - x^2) ), ( sqrt(a^2 + x^2) ), ( sqrt(x^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X )e q (x) são polinômios

Obs; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Passo 2

O segundo passo importante é analisar a formula de integração por partes

int f (x) g ' ( x ) d x = f (x) g ( x ) - int f ' (x) g ( x ) dx

Note que devemos encontrar todos os termos da formula , então façamos;

f(x)= e^x d e r i v a n d o f^' (x) = e^x

g’(x) = cos x integrando g(x)= sen x

Substituindo na formula, temos;

int e^x cos x d x = e^x s e n x - int e^x s e n x d x

Passo 3

Note que devemos aplicar novamente integração por partes nessa integral;

int e^x s e n x d x

Seja f(x)= e^x d e r i v a n d o f’(x)= e^x

g’(x)= sen x integrando g(x)= -cos x

Usando esses termos na formulas temos

int e^x s e n x d x = - e^x c o s x + int e^x c o s x d x

Substituindo na equação geral, temos;

int e^x cos x d x = e^x s e n x - ( - e^x c o s x + int e^x c o s x d x )

= ( e^x s e n x + e^x c o s x )/2 + C.

Resposta

( e^x s e n x + e^x c o s x )/2 + C.

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Calcule a integral ∫ x. e x d x Algumas integrais não requerem integração por partes.
Calcule a integral∫ x . ( ln ⁡ x ) 2 d x . Algumas integrais não requerem integração por partes.
Calcule a integra ∫ cos ⁡ x d x Algumas integrais não requerem integração por partes.