Enunciado

Radianos versus graus: derivadas no modo grau. O que aconteceria com as derivadas de sen ⁡ x e cos ⁡ x se x fosse medido em graus em vez de radianos? Para descobrir isso, siga os seguintes passos:

  1. Selecione o modo grau da calculadora gráfica ou computador e faça o gráfico de
  2. f h = sen ⁡ h h

    E estime lim h → 0 ⁡ f ( h ) . Compare sua estimativa com π / 180 . Existe alguma razão para acreditar que o limite deveria ser π / 180 ?

  3. Ainda no modo grau da calculadora gráfica, estime
  4. lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h

  5. Agora volte para a dedução da fórmula para a derivada de sen ⁡ x no texto e siga os passos da derivação usando limites no modo grau. Que fórmula você obtém para a derivada?
  6. Agora volte para a dedução da fórmula para a derivada de cos ⁡ x no texto e siga os passos da derivação usando limites no modo grau. Que fórmula você obtém para a derivada?
  7. As desvantagens das fórmulas no modo grau se tornam evidentes quando você começa a lidar com derivadas de ordem superior. Tente. No modo grau, quais são a segunda e terceira derivadas de sen ⁡ x e cos ⁡ x ?

Passo 1

Questões com muito texto pode nos confundir. Vamos começar por determinar o que precisamos fazer exatamente em cada letra.

  1. Vamos obter o gráfico de f ( h ) , calcular o valor de lim h → 0 ⁡ f ( h ) e comparar com π / 180 ;
  2. Vamos calcular o limite da função dada;
  3. Derivar pela definição a função sen ⁡ x ;
  4. Mesmo procedimento do passo anterior, mas pra cos ⁡ x ;
  5. Obter a segunda e terceira derivada de sen ⁡ x e cos ⁡ x .

Passo 2

Vamos derivar agora a função sen ⁡ x pela definição. Temos então:

d d x sen ⁡ x = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ ( x + h ) - sen ⁡ x h

lim h → 0 ⁡ ( sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ h + cos ⁡ x sen ⁡ h ) - sen ⁡ x h

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ h - sen ⁡ x + cos ⁡ x sen ⁡ h h

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ h - sen ⁡ x h + lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x sen ⁡ h h

sen ⁡ x ⋅ lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h + cos ⁡ x ⋅ lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h

sen ⁡ x ⋅ 0 + cos ⁡ x ⋅ π 180

π 180 ⋅ cos ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f x = x 2 + 1 . Calcule a ) f ' 1 b ) f ' 0 c ) f ' ( x )
Calcule f ' ( p ) , pela definição, sendo dados c )f x = 5 x - 3 ; p = - 3
Seja f x = 3 x + 2 . Calcule a )f ' 2 b ) f ' 0c )f ' ( x )
Determine a equação da reta tangente em ( p ,f ( p ) ) sendo dados a )f x = x 2 ; p = 2
Calcule f ' ( p ) , pela definição, sendo dados e )f x = x ; p = 3