Enunciado

A região limitada por um pentágono com vértices em ( - 4 ,   4 ) , ( - 2 ,   0 ) , ( 0 ,   8 ) , ( 2 ,   0 ) e ( 4 ,   4 ) gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.

Passo 1

A questão pede o volume de um sólido de revolução obtido ao girarmos em torno do eixo x o pentágono limitado pelos pontos ( - 4 ,   4 ) , ( - 2 ,   0 ) , ( 0 ,   8 ) , ( 2 ,   0 ) e ( 4 ,   4 ) :

A integração deveria ser feita sobre todo o pentágono, de x = - 4 até x = 4 . Todavia, note que a figura é simétrica, de modo que só precisamos fazer a integração de x = 0 até x = 4 e colocar um fator 2 na frente!

Na figura estão indicadas as equações das retas que serão úteis no cálculo do volume. Note que a reta y = 8 - x passa pelos pontos ( 8 ,   0 ) e ( 4 ,   4 ) , a reta y = 2 x - 4 passa pelo ponto ( 2 ,   0 ) e ( 4 ,   4 ) e a reta y = 0 passa pelos pontos ( 2 ,   0 ) e ( - 2 ,   0 ) .

Para calcularmos o volume teremos que quebrar a integral em duas: uma de x = 0 até x = 2 e outra de x = 2 até x = 4 . Na primeira integral temos que o raio inferior é y = 0 e o raio superior é y = 8 - x . Assim, ela será

∫ 0 2 π 8 - x 2 - 0 2   d x = π ∫ 0 2 8 - x 2   d x

Já na segunda integral, a raio inferior é y = 2 x - 4 e o superior continua sendo y = 8 - x :

∫ 2 4 π   8 - x 2 - 2 x - 4 2   d x

Assim, o volume todo será

V = 2 π   ∫ 0 2 8 - x 2   d x + ∫ 2 4   8 - x 2 - 2 x - 4 2   d x

Não esqueça desse fator 2 na frente!

Passo 2

Note que podemos quebrar a integral em três:

V = 2 π ∫ 0 2 8 - x 2   d x + ∫ 2 4 8 - x 2   d x - ∫ 2 4 2 x - 4 2   d x

Observe ainda que as duas primeiras integrais podem ser juntadas:

V = 2 π   ∫ 0 4 8 - x 2   d x - ∫ 2 4 2 x - 4 2   d x

Passo 3

Agora podemos calcular as integrais:

V = 2 π   ∫ 0 4 64 - 16 x + x 2   d x - ∫ 2 4 4 x 2 - 16 x + 16   d x

Portanto,

V = 2 π   64 x - 8 x 2 + x 3 3 0 4 - 4 x 3 3 - 8 x 2 + 16 x 2 4

Logo,

V = 2 π 256 - 128 + 64 3 - 256 3 - 128 + 64 - 32 3 + 32 - 32

Assim,

V = 2 π   128 + 64 3 - 224 3 - 64 = 2 π 128 + 64 + 64 3 - 224 3

Desta forma,

V = 2 π   192 - 160 3 = 2 π 576 - 160 3 = 2 π ⋅ 416 3

Portanto, o volume será

V = 832 π 3

Resposta

832 π 3

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A região limitada pelas curvas y = tan ⁡ x e y = cot ⁡ x e pelo eixo x , onde 0 ≤ x ≤ π 2 , gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido obtido.
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2 - A base do sólido é a região no primeiro quadrante entre a reta y=x e a parábola y=2x . As seções transversais do sólido perpendiculares ao eixo x são triângulos equiláteros cujas bases se estendem