Enunciado

A região “triangular” no primeiro quadrante delimitado pelo eixo x , a reta x = 4 e a hipérbole 9 x 2 - 4 y 2 = 36 é girada em relação ao eixo x para gerar um sólido. Encontre o volume do sólido.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vem comigo que vamos resolver este exercício juntos!

Primeiramente iremos relembrar algumas definições. Uma hipérbole é o conjunto de pontos em um plano cujas distâncias a partir de dois pontos fixos nesse plano têm uma diferença constante. Os dois pontos fixos são os focos da hipérbole.

A reta que passa pelos focos de uma hipérbole é o eixo focal. O ponto no eixo na metade do trajeto entre os focos é o centro da hipérbole. Os pontos onde o eixo focal e a hipérbole se cruzam são os vértices, isso é explicado pela seguinte Figura:

A equação da forma padrão para hipérbole centradas na origem:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Além disso, a equação do volume do sólido é dada por:

V = π ∫ a b f x 2 d x

Então vamos lá! Pelo enunciado, temos a seguinte equação:

9 x 2 - 4 y 2 = 36

Para deixarmos no formato padrão de uma elipse, iremos dividir ambos os lados por 36:

9 x 2 - 4 y 2 36 = 36 36

x 2 4 - y 2 9 = 1

Onde:

  • a 2 = a → a = 2
  • b 2 = 3 → b = 3

Se utilizarmos o programa computacional para obtermos nossas duas curvas dada no enunciado, conseguimos obter o seguinte:

Passo 2

De acordo com o enunciado, queremos essa função “triangular”:

Para esta região, queremos o volume quando é girada em torno do eixo x . Sendo assim, iremos isolar y em função de x :

4 y 2 = 9 x 2 - 36

y = 9 x 2 - 36 4 = 3 2 x 2 - 4

Ou seja:

f x = 3 2 x 2 - 4

Para a região delimitada, o valor de x inicial é o valor de a e o final da reta x = 4 , sendo assim temos:

V = π ∫ 2 4 3 2 x 2 - 4 2 d x

V = π ∫ 2 4 9 4 ∙ ( x 2 - 4 ) d x

V = 9 π 4 ∫ 2 4 ( x 2 - 4 ) d x

V = 9 π 4 ∙ x 3 3 - 4 x 2 4

V = 9 π 4 ∙ 4 3 3 - 4 ∙ 4 - 2 3 3 - 4 ∙ 2

V = 24 π

Resposta

V = 24 π .

Exercícios de Livros Relacionados

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