Enunciado

O gráfico de uma equação em x e y será simétrico com respeito à reta y = x se e somente se está for equivalente à equação obtida quando x for substituído por y e y por x. Mostre que o gráfico da equação a ⋅ x 2 + b ⋅ y 2 = c , em que a, b e c são positivos, será simétrico com respeito a essa reta se e somente se a = b .

Passo 1

Para mostrar que o gráfico da equação a ⋅ x 2 + b ⋅ y 2 = c é simétrico em relação à reta y = x , precisamos substituir x por y e encontrar uma equação equivalente. Isso significa que x e y só podem assumir nessa nova equação os mesmos valores que assumem na equação original.

Passo 2

Temos duas equações a se analisar: a original, a ⋅ x 2 + b ⋅ y 2 = c , e a que obtemos ao trocar x por y, a ⋅ y 2 + b ⋅ x 2 = c . O x de uma deve ser igual ao x da outra e y de uma deve ser igual ao y da outra, então, isolando x 2 nas duas e igualando-os, temos

c - b ⋅ y 2 a = c - a ⋅ y 2 b

b ⋅ c - b 2 ⋅ y 2 = a ⋅ c - a 2 ⋅ y 2

y 2 ⋅ a 2 - b 2 = c ⋅ a - b

y 2 ⋅ a + b ⋅ a - b = c ⋅ a - b

Passo 3

Se a ≠ b , podemos dividir dos dois lados por a - b . Porém, os únicos valores que o y da primeira equação terá em comum com os da segunda serão c a + b e - c a + b (sabemos que essas raízes e essas frações existem pois foi dito que as constantes são positivas), o que não é verdade, já que é preciso que todos os valores de y de uma equação sejam iguais aos da outra equação.

Passo 4

Assim, por absurdo, para que a equação a ⋅ x 2 + b ⋅ y 2 = c seja simétrica em relação à reta y = x , é necessário que a = b .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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