Enunciado

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = x - 2 3 + 1

Passo 1

Primeiramente, vemos que a função é um polinômio, logo seu domínio é R .

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = 3 x - 2 2

y ' ' =   6 ( x - 2 )

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = 3 x - 2 2 = 0 → x - 2 = 0 → x = 2

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' 2 = 0 , , então aqui não podemos definir o tipo de extremo ainda (pode não ser nem mínimo nem máximo também)

Vamos continuar...

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y ' = 3 x - 2 2

Sabemos que a função y ' resulta em zero quando x = 2 . Porém, observe que x - 2 2 > 0   ∀ x ∈ R (números ao quadrado sempre dão positivo).

Então, y ' > 0 para qualquer valor de x, logo nossa função é sempre crescente.

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y ' ' = 6 x - 2 > 0 → x - 2 > 0 → x > 2

Então a concavidade é para cima quando x > 2 e para baixo quando x < 2 .

E então o ponto de inflexão é: ( 2,1 ) .

Passo 4

A raiz não é exata, então veremos só onde a função corta o eixo y :

x → 0 = 0 - 2 3 + 1 =   - 8 + 1 = - 7

Ponto (0,-7).

Passo 5

Juntando as informações e os pontos encontrados, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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