Enunciado

Prove que a soma T na regra do trapézio para ∫ a b f x d x é uma soma de Riemann para f contínua em [ a ,   b ] . Dica: use o teorema do valor intermediário para mostrar a existência de c k no subintervalo [ x k - 1 ,   x k ] que satisfaz:

f c k = f x k - 1 + f x k 2

Passo 1

Em exercícios anteriores já trabalhamos a regra do trapézio, mas se você se esqueceu, não se preocupa, vou relembrar rapidinho.

Vamos calcular a área dessa figura dividindo em vários trapézios pequenos. A área total é a soma das áreas deles!

A = ∆ x 2   y 1 + y 2 +   ∆ x 2 y 2 + y 3 +   ∆ x 2 y 3 + y 4 …  

Está vendo que podemos agrupar essa soma? Então vamos arrumar isso!

A = ∆ x 2 y 1 + 2 y 2 + 2 y 3   + 2 y 3 … + 2 y n - 1 +   y n

E pronto, essa é a forma geral do método dos trapézios. Vamos substituir os nossos valores, lembrando que ∆ x = b -   a n .

Passo 2

Uma soma de Riemann consiste em aproximar uma curva por retângulos, porque conhecemos bem a área deles!

Quanto mais fininhos os retângulos, mais adequada vai ser a aproximação! A área vai ser, aproximadamente:

A = Δ x ( y 0 + y 1 + y 2 + … )

∆ x = b -   a n

Percebeu? Nas duas a gente usou basicamente a mesma idéia! A aproximação por trapézios é só uma derivação da aproximação por retângulos de Riemman. De qualquer forma, ao escolhermos Δ x cada vez menores, ou seja, limites de Δ x tendendo a 0 , o somatório nos dois casos vira uma integral!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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