Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 32
A resistividade de um fio condutor é o recíproco da condutividade e é medida em unidades de ohm-metros (). A resistividade de um dado metal depende da temperatura de acordo com a equação
Onde é a temperatura em . Existem tabelas que listam os valores de (o coeficiente de temperatura) e (a resistividade a ) para vários metais. Exceto a temperaturas muito baixas, a resistividade varia quase linearmente com a temperatura, e assim é comum aproximar a expressão para por seu polinômio de Taylor de grau 1 ou 2 em .
- Encontre expressões para estas aproximações linear e quadrática.
- Para o cobre, a tabeça fornece e . Trace a resistividade do cobre e as aproximações linear e quadrática para .
- Para quais valores de a aproximação linear coincide com a expressão exponencial com precisão de ?
Passo 1
A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem da função:
Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:
Passo 2
O polinômio de Taylor de grau 1 (ou aproximação linear da função) será:
O polinômio de Taylor de grau 2 (ou aproximação quadrática da função) será:
Passo 3
Substituindo e nas expressões da resistividade e da aproximação linear e quadrática que encontramos:
Portanto, precisamos plotar esses três curvas aí.
Usando uma ferramemta gráfica, como a própria questão sugere, digitamos essas três funções de e obtemos as seguintes curvas:
Repare que nas proximidades de aproxima linearmente a curva exponencial de e aproxima na forma quadrática, sendo uma aproximação mais aproximada que a aproximação linear haha quer dier, uma aproximação um pouquinho mais próximo do real.
Passo 4
Primeira coisa, vamos descobrir qual intervalo que a gente tá falando.
Se queremos ter uma precisão de , queremos ter algo em torno de
Beleza, agora vamos dar um zoomzãaaaao no gráfico procurando nesse intervalo.
Fazendo isso, vamos que está nesse intervalo quando .
Resposta
está em quando .