Enunciado

A resistividade ρ de um fio condutor é o recíproco da condutividade e é medida em unidades de ohm-metros ( Ω . m ). A resistividade de um dado metal depende da temperatura de acordo com a equação

ρ t = ρ 20 e α t - 20

Onde t é a temperatura em ° C . Existem tabelas que listam os valores de α (o coeficiente de temperatura) e ρ 20 (a resistividade a 20 ° C ) para vários metais. Exceto a temperaturas muito baixas, a resistividade varia quase linearmente com a temperatura, e assim é comum aproximar a expressão para ρ ( t ) por seu polinômio de Taylor de grau 1 ou 2 em t = 20 .

  1. Encontre expressões para estas aproximações linear e quadrática.
  2. Para o cobre, a tabeça fornece α = 0,0039   / ° C e ρ 20 = 1,7 × 10 - 8 Ω . m . Trace a resistividade do cobre e as aproximações linear e quadrática para - 250   ° C ≤ t ≤ 1000   ° C .
  3. Para quais valores de t a aproximação linear coincide com a expressão exponencial com precisão de 1 % ?

Passo 1

a )

A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem 2 da função ρ t :

ρ t = ρ 20 e α t - 20

ρ ' t = ρ 20 e α t - 20 α

ρ ' ' t = ρ 20 e α t - 20 α 2

Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:

ρ 20 = ρ 20 e α 20 - 20 = ρ 20

ρ ' 20 = ρ 20 e α 20 - 20 α = α ρ 20

ρ ' ' 20 = ρ 20 e α 20 - 20 α 2 = α 2 ρ 20

Passo 2

O polinômio de Taylor de grau 1 (ou aproximação linear da função) será:

T 1 t = ρ 20 + ρ ' 20 t - 20 1 1 ! = ρ 20 + α ρ 20 t - 20 = ρ 20 1 + α t - 20

O polinômio de Taylor de grau 2 (ou aproximação quadrática da função) será:

T 2 t = ρ 20 + ρ ' 20 t - 20 1 1 ! + ρ ' ' 20 t - 20 2 2 ! = ρ 20 + α ρ 20 t - 20 + α 2 ρ 20 t - 20 2 2

T 2 t = ρ 20 1 + α t - 20 + 1 2 α 2 t - 20 2

Passo 3

b )

Substituindo α = 0,0039   / ° C e ρ 20 = 1,7 × 10 - 8 Ω . m nas expressões da resistividade e da aproximação linear e quadrática que encontramos:

ρ t = 1,7 × 10 - 8 e 0,0039 t - 20

T 1 t = 1,7 × 10 - 8 1 + 0,0039 t - 20

T 2 t = 1,7 × 10 - 8 1 + 0,0039 t - 20 + 1 2 0,0039 2 t - 20 2

Portanto, precisamos plotar esses três curvas aí.

Usando uma ferramemta gráfica, como a própria questão sugere, digitamos essas três funções de t e obtemos as seguintes curvas:

Repare que nas proximidades de t = 20 , T 1 aproxima linearmente a curva exponencial de ρ e T 2 aproxima na forma quadrática, sendo uma aproximação mais aproximada que a aproximação linear haha quer dier, uma aproximação um pouquinho mais próximo do real.

Passo 4

c )

Primeira coisa, vamos descobrir qual intervalo que a gente tá falando.

Se queremos ter uma precisão de 1 % , queremos ter algo em torno de

ρ - 1 % ρ ≤ T 1 ( t ) ≤ ρ + 1 % ρ

0,99 ρ ≤ T 1 ( t ) ≤ 1,01 ρ

Beleza, agora vamos dar um zoomzãaaaao no gráfico procurando T 1 ( t ) nesse intervalo.

Fazendo isso, vamos que T 1 ( t ) está nesse intervalo quando - 14   ° C ≤ t ≤ 58   ° C .

Resposta

a )

T 1 t = ρ 20 1 + α t - 20

T 2 t = ρ 20 1 + α t - 20 + 1 2 α 2 t - 20 2

b )

c )

T 1 ( t ) está em 0,99 ρ ≤ T 1 ( t ) ≤ 1,01 ρ quando - 14   ° C ≤ t ≤ 58   ° C .

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