Enunciado

Calcule os oito primeiros termos da sequência de somas parciais corretas para quatro casas decimais. Parece que a série é convergente ou divergente?

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n !

Passo 1

E aí, galera? Tudo tranquilo?

Vamos olhar nossa questão e entender o que ela quer de nós.

Primeiro teremos que calcular os 8 primeiros termos da sequência de somas parciais usando: s n = s n - 1 + a n

Onde vamos fazer n = 1,2 , 3 , … , 8 .

As 4 casas decimais que ela pede para mantermos é para que os números fiquem mais precisos e fáceis de analisar caso sejam valores muito próximos uns dos outros.

Por fim vamos analisar o comportamento desses valores. Para entender se uma série parece convergir ou divergir, você pode observar os termos da série e verificar se eles seguem um padrão consistente. Se sim, podemos dizer que ela converge.

Passo 2

Vamos chamar de a n o termo dentro do somatório, beleza? Assim, temos:

a n = - 1 n - 1 n !

Nos foi pedido pra calcular os oito primeiros termos desse somatório. Mãos a obra!

Para s 1 faremos n = 1 :

s 1 = a 1 = - 1 1 - 1 1 ! = 1

Para s 2 faremos n = 2 :

s 2 = s 1 + a 2 = 1 + - 1 2 - 1 2 ! = 0,5

Para s 3 faremos n = 3 :

s 3 = s 2 + a 3 = 0,5 + - 1 3 - 1 3 ! ≈ 0,6667

Para s 4 faremos n = 4 :

s 4 = s 3 + a 4 = 0,6667 + - 1 4 - 1 4 ! ≈ 0,6250

Metade do caminho! Vamo que vamo:

Para s 5 faremos n = 5 :

s 5 = s 4 + a 5 = 0,6250 + - 1 5 - 1 5 ! ≈ 0,6333

Para s 6 faremos n = 6 :

s 6 = s 5 + a 6 = 0,6333 + - 1 6 - 1 6 ! ≈ 0,6319

Para s 7 faremos n = 7 :

s 7 = s 6 + a 7 = 0,6319 + - 1 7 - 1 7 ! ≈ 0,6321

Para s 8 faremos n = 8 :

s 8 = s 7 + a 8 = 0,6321 + - 1 8 - 1 8 ! ≈ 0,6321

Passo 3

Olhando para os valores encontrados, podemos perceber uma certa convergência para essa série, certo? Os valores começam a tender para um valor, algo próximo de 0,632 . Portanto, podemos dizer que a série é convergente!

Resposta

A série é convergente!

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