Resolva a equação diferencial.

2x^2 \* dx - 3 \* raiz(y) \* cosec(x) \* dy = 0

Passo 1

Vamos, primeiramente, reescrever a equação diferencial de forma a separar o que tem x de um lado e o que tem y do outro, dessa forma o nosso problema vai se resumir em resolver duas integrais e isolar y = f ( x ) que é o que queremos encontrar. Assim, para esse caso basta fazer

2 x 2 d x - 3 y ⋅ c o s s e c   x d y = 0

2 x 2 d x = 3 y ⋅ c o s s e c   x d y

2 x 2 d x c o s s e c ( x ) = 3 y     d y

2 x 2 ⋅ s e n ( x ) d x = 3 y     d y

Passo 2

Integrando ambos os lados vamos obter

∫ 2 x 2 ⋅ s e n x d x = ∫ 3 y     d y

i :   3 ∫ y 1 2   d y = 3 ⋅ y 1 2 + 1 1 2 + 1 + C 1 = 2 ⋅ y 3 2 + C 1

i i : ∫ 2 x 2 ⋅ s e n x d x =   2 ⋅ ∫ x 2 ⋅ s e n x d x

Para resolvermos ( i i ) precisaremos resolver a integral por partes que nos diz o seguinte

∫ u   d v =   u v - ∫ v   d u

Fazendo, então

u = x 2 → u ' = 2 x  

d v = s e n x → v =   - cos ⁡ ( x )

→   2 ⋅ ∫ x 2 ⋅ s e n x d x = 2 ⋅ - x 2 ⋅ cos ⁡ x + ∫ 2 x ⋅ cos ⁡ x d x =

→ 2 ⋅ - x 2 ⋅ cos ⁡ x + 2 x ⋅ s e n x + 2 c o s x =  

→ 4 x ⋅ s e n x + cos ⁡ x ⋅ 4 - 2 x 2 + C 2

Juntando ambos os resultados e lembrando que C = C 2 - C 1

2 ⋅ y 3 2 + C 1 =   4 x ⋅ s e n x + cos ⁡ x ⋅ 4 - 2 x 2 + C 2

2 ⋅ y 3 2 =   4 x ⋅ s e n x + cos ⁡ x ⋅ 4 - 2 x 2 + C

y 3 2 =   2 x ⋅ s e n x + cos ⁡ x ⋅ 2 - x 2 + C

Elevando ambos os lados a 2 3 obteremos

y = 2 x ⋅ s e n x + cos ⁡ x ⋅ 2 - x 2 + C 2 3

Resposta

y = 2 x ⋅ s e n x + cos ⁡ x ⋅ 2 - x 2 + C 2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados