Lista de Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

Ver Teoria

Encontre a solução do PVI abaixo:

x 2 y ' + x y = 1 y 1 = 0 x > 0

Ver solução completa

Resolva a seguinte equação diferencial:

y ' + cos ⁡ x y = 5 cos ⁡ x

Ver solução completa

Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

1 - cos ⁡ x d y + ( 2 y s e n x - tan ⁡ x ) d x = 0

Ver solução completa

Resolva a seguinte equação diferencial linear:

d y d x + y x - cotg ⁡ x x = 0

Ver solução completa

Ache a solução geral da equação seguinte:

x y ' + 2 y = x 2 - x + 1

Ver solução completa

  1. Determine a solução geral explícita y ( x ) da equação diferencial
  2. x 2 + 1 y ' + 3 x y = 6 x

  3. Utilize o resultado do item (a) para obter a solução do problema de valor inicial

x 2 + 1 y ' + 3 x y = 6 x y 0 = - 2

Ver solução completa

Um fator integrante da equação diferencial x 2 y ' = 2 + x y   x > 0 ,   é:

(a) x

(b) 1 x

(c) e 2 x

(d) e - x 2

(e) e x 2

Ver solução completa

Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

y ' + y = sen ⁡ x

y 0 = 1

Ver solução completa

Encontre a curva y x no plano que passa no ponto 1,1 + e sabendo que:

x y ' x - 2 x + y x - e x = 0

Ver solução completa

Classifique em Verdadeiro ou Falso a afirmação abaixo, justificando.

A equação diferencial

y ' - 2 x y = 0

y 0 = 0

Tem exatamente duas soluções:

y 1 x = 0

y 2 x = x 2

Ver solução completa

Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

x y ' + y = e x

y 1 = 2

Ver solução completa

UM circuito elétrico composto por um resistor (de resistência R ), um indutor (de indutância L ) e uma bateria (com diferença de potencial V entre os seus terminais) está ilustrado abaixo.

A chave S est inicialmente aberta e, consequentemente, não há corrente elétrica passando pelo circuito. No instante t = 0 , essa chave é ligada e a corrente I t que atravessa o circuito é solução da seguinte equação diferencial:

L d I t d t + R   I t = V

Onde L ,   R   e   V são constantes positivas. A expressão que define a corrente I t , para um instante t > 0 qualquer, é:

  1. I t = R L t
  2. I t = V L
  3. I t = V R log ⁡ L R t
  4. I t = V R 1 - e - R L t
  5. I t = V R 1 - cos ⁡ R t L

Ver solução completa

Determine a solução geral da equação diferencial:

2 y 2 y ' ' + 2 y y ' 2 = 2 y y ' ,   y > 0 ,     y ' > 0

Ver solução completa

Considere o problema de valor inicial

x y ' - y = x cos ⁡ x ,     y x 0 = y 0

  1. Resolva este problema para x 0 = π e y 0 = π / 2
  2. O problema tem solução para x 0 = 0 ? Podemos usar o teorema da existência e unicidade para responder esta questão?
  3. Justifique que para x 0 ≠ 0 o problema tem solução.

Ver solução completa

Resolva a equação no intervalo I = 0 , ∞ :

- 1 4 x y ' - 3 y = x

Ver solução completa

Indique qual a resposta correta para a solução geral de uma EDL não homogênea a saber: d y d x + y   = sen ⁡ x

( )   2 e - x   -   4 c o s ( 4 x ) + 2 e x  

( X )   C 1 e - x + 1 2 ( s e   n x - c o s x )

( ) C 1 e - x - C 2 e 4 x - 2 e x

( ) C 1 e - x - C 2 e 4 x   + 2 sen ⁡ x  

( ) C 1 e x - C 2 e 4 x + 2 e x  

Ver solução completa

Resolva a equação diferencial ( x + 1 ) . d y d x = x . ( 1 + y 2 )

( ) y = c o t g [ x - ln ⁡ | x + 1 | + C ]  

( ) y = sec ⁡ x - ln ⁡ x + 1 + C

( ) y = c o s [ x - l n | x + 1 | + C ]

( ) y = s e n [ x - l n | x + 1 | + C ]

( ) y = t g [ x - l n | x + 1 | + C ]

Ver solução completa

Encontre todas as soluções da EDO:

x 2 y ' + 3 x y = sen ⁡ x x ,     x < 0

Ver solução completa

Resolva as seguintes equações diferenciais, e problemas de valor inicial.

y ' - 2 x y = x   ,   y 0 = 1

Ver solução completa

Resolva os seguintes problemas de valor inicial

b)   x d y d x + y = 2 x y 1 = 0

Ver solução completa

Um fator integrante de x y ' = x + y é?

Ver solução completa

Encontre a solução de x 2 y ' + x y = 1 ,   x > 0 ,   y 1 = 2  

Ver solução completa

Resolva as seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial, conforme seja o caso.

a) x 2 + 1 y ' + 4 x y = 12 x ,     y 0 = 2

Ver solução completa

A solução geral de e 2 t y ' + 2 e 2 t y = e t é:

a)   y = e - 3 t + C e - 2 t

b) y = C 1 e - t + C 2 e - 2 t

c) y = e - t + C e - t

d) nenhuma das opções

e) y = e - t + C e - t 2

Ver solução completa

Encontre o fator integrante correto para a seguinte diferencial: cos ⁡ x y ' - 2 s e n x y = e - x

  1. cos 2 ⁡ x
  2. e 2 cos ⁡ x
  3. e - 2 sec 2 ⁡ x
  4. e - 2 t g x
  5. 2 cos ⁡ x

Ver solução completa

Resolva o problema de valor inicial:

x y ' + 2 y = cos ⁡ x 2 ,     y π = 2

No intervalo x > 0 .

Ver solução completa

Classifique as equações diferenciais de 1ª ordem abaixo:

2 x d y d x - 4 y x 2 = 2 x cos ⁡ x ,   x > 0

Ver solução completa

Determine as soluções gerais, explicitas ou implícitas, das equações diferenciais

de 1ª ordem acima, com métodos apropriados para cada caso.

d y d x - 2 x y = x 2 cos ⁡ x

Ver solução completa

Determine explicitamente, ou indique implicitamente, a solução do problema de

valor inicial para cada equação diferencial de 1ª ordem acima, com a condição inicial y x 0 = y 0 :

2 x d y d x - 4 y x 2 = 2 x cos ⁡ x ,   x > 0

Ver solução completa

Determine a solução geral da equação y ' + 1 x y = arcsen ⁡ ( x )

Ver solução completa

Encontre o fator integrante correto para a seguinte equação diferencial:

x y ' = 2 + y ,     x > 0

  1. 1 / x
  2. e x
  3. e - x
  4. e x 2 2
  5. e - x 2 2

Ver solução completa

Seja y ( x ) a solução do problema de valor inicial

y ' - 2 y = e 2 x ,     y 0 = 1

Quanto vale y 1 ?

Ver solução completa

Resolva as equações:

b   y ' - 2 x y = x

Ver solução completa

  1. Determine a solução geral da EDO

y ' = y + cos ⁡ e - t

E determine o comportamento da solução quando t → + ∞ em função da constante

Ver solução completa

Determine a solução geral y = y ( x ) das seguintes EDOs:

( a )   y ' + 2 x y = 2 x e - x ²

Ver solução completa

A solução geral da equação diferencial

x y ' + y = x ,     ( x > 0 )

É (onde C ∈ R )

  1. y = 2 x 3 2 3 + C e - x
  2. y = 2 x 3 2 e - x 3 + C
  3. y = 2 x 3 + C x
  4. y = 2 x 3 + C
  5. y = 2 x 3 2 e - x 3 + C e - x

Ver solução completa

A solução geral da equação diferencial

2 y ' + 1 x y = 3 ,     ( x > 0 )

É (onde C ∈ R )

  1. x + C / x
  2. 3 2 x + C / x
  3. 3 2 x + C / x
  4. x + C / x
  5. x + C

Ver solução completa

( a ) Resolva o problema de valor inicial ( P V I ) dado abaixo y = y ( x ) :

x 3 d y d x + x 2 y - x 2 cos ⁡ x = 0 ,     x > 0 y π 2 = 0

Ver solução completa

Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme caso abaixo:

x y ' + 4 y = x 3 - x

Ver solução completa

Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme seja o caso:

  1. x y ' + y - x e x 2 = 0 ,     y 1 = e

Ver solução completa

Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial, conforme seja o caso:

a )   y ' + y + x + x 2 + x 3 = 0

Ver solução completa

Questão 1: Seja z = z x uma função diferenciável tal que

z ' - z x = x ln ⁡ x

Então z x ' =

  1. ln ⁡ x
  2. - ln ⁡ x
  3. - ln ⁡ x x
  4. - x 2 ln ⁡ x
  5. x 2 ln ⁡ x

Ver solução completa

Seja a equação diferencial 2 d y d x + 3 y = e - x . Qual dentre as opções abaixo não é uma solução da equação diferencial proposta, sabendo que y=f(x) ?

( )   y = e - x + 2 . e - 3 2 x

( ) y = e - x + e - 3 2 x  

( )   y = e - x

( ) y = e x

( ) y = e - x + C . e - 3 2 x  

Ver solução completa

Determine c 1 e c 2 de modo que a função y ( x ) = c 1 s e n x + c 2 c o s x + 1 satisfaça as condições iniciais y ( π ) = 0 , y ´ ( π ) = 0 .

Ver solução completa

Dada uma ED x d y d x = x 2 + 3 y ; x > 0 , indique qual é o único fator de integração correto:

( ) - 1 x 3

( ) 1 x 2

( ) x 3

( ) 1 x 3

( ) - 1 x 2

Ver solução completa

Marque a alternativa que indica a solução do problema de Valor inicial

d y d x = x 3 + x + 1   ,     y 0 = 2

( ) y = x 4 4 + x 2 2 + x

( ) y = x 3 + x 2 + 2

( ) y = x 4 4 + x 2 2 + 2

( ) y = 0

( ) y = x 3 + x + 1

Ver solução completa

Marque a alternativa que indica a solução do problema de valor inicial:

d y d x = cos ⁡ x ,     y 0 = 2

( ) y = tan ⁡ x + 2

( ) y = sen ⁡ x + C

( ) y = cos ⁡ x

( ) y = cos ⁡ x + 2

( ) y = sec ⁡ x + 2

Ver solução completa

Calcule C 1 e C 2 de modo que y x = C 1 sen ⁡ x + C 2 cos ⁡ x satisfaça as condições dadas:

y 0 = 2 ;           y ' 0 = 1

Explique se tais condições caracterizam um Problema de Valor Inicial ou de Valor de Contorno. Marque a única resposta correta.

  C 1 = 3 ; C 2 = 2 ;     P V C

  C 1 = 2 ; C 2 = 1 ;     P V C

  C 1 = 1 ; C 2 = ln ⁡ 2 ;     P V C

    C 1 = - 1 ; C 2 = - 2 ;     P V I

  C 1 = 1 ; C 2 = 2 ;     P V I

Ver solução completa

1) A corrente I t em um circuito elétrico com indutância L e resistência R é dada pela equação

L d I d t + R ∙ I = E t

Onde E t é a tensão aplicada. Suponha que L ≠ 0 e R são constantes (arbitrárias; não especifique), I 0 = 0 e que E t seja dada por E t = e - R L t E 0 sin ⁡ ω t , sendo E 0 e ω ≠ 0 também constantes (arbitrárias; não especifique). Encontre I t .

Ver solução completa

A solução, y x , do problema de valor inicial x y ' - y = x ln ⁡ x ,     y 1 = 3 , é:

  1. y x = 1 2 x   ln ⁡ x 2 + 3 x
  2. y x = 3 ln ⁡ x + 1 2 x
  3. y x = 3 x   ln ⁡ x 2
  4. y x = 3 x ln ⁡ x + 1 2 x
  5. y x = 1 2   ln ⁡ x 3 + x

Ver solução completa

Considere o problema de valor inicial

y ' + a x y = b x ,     0 < x < π , y π 2 = 0  

Sabendo que μ x = s e n x é um fator integrante desta equação diferencial e que a solução do problema acima é y = y x = s e n x 2 - 1 2 s e n x ,   ache a x e   b x .

Ver solução completa

Questão 1 (Justifique todas as suas respostas):

Encontre a solução do problema de valor inicial:

y ' - y = 1 + 3 sin ⁡ t y 0 = y 0

e estude o seu comportamento t → ∞ .

Ver solução completa

Questão 1: (Justifique todas as suas respostas)

Determine se cada uma das afirmações abaixo é Verdadeira ou Falsa:

  1. Considere a equação

y ' t - p t y t = q t

Sempre é possível obter um fator integrante para esta equação.

V e r d a d e i r a                         F a l s a

Ver solução completa

Questão 2: (Justifique todas as suas respostas)

Considere o PVI

y ' t - y = 1 + 3 sin ⁡ t   y t 0 = y 0