Exercícios de EDO Linear de 1ª Ordem - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 96

01) A temperatura de equilíbrio T ( P ) em um ponto P de uma chapa circular feita com um material uniforme pode ser escrita em função das coordenadas polares ( r ,   θ ) , de P , onde r é a distância entre o ponto P e a origem O e θ é o ângulo formado entre o eixo x e o segmento O P . Temos que θ varia em [ 0 ,   2 π ] e que r varia em [ 0 , R ] , onde R é o raio da chapa. Note que o conjunto dos pontos tais que r é constante formam uma circunferência.

Escrevendo a temperatura em P como produto de duas funções T P = y θ z ( r ) , é possível mostrar que as funções y ( θ ) e z ( r ) satisfazem as seguintes equações diferenciais:

y ' ' θ - y t θ = ν = r 2 z ' ' r +   r z ' r z r

Onde ν é uma constante positiva. O objetivo dessa questão é resolver essas duas equações diferenciais e estudar suas soluções.

a) Mostre que y θ satisfaz a equação y ' ' θ + ν y t = 0 . Determine os valores de a > 0 tais que y 1 θ = c o s c o s   a θ   e y 2 θ = s e n ( a θ ) são soluções fundamentais dessa equação.

b) Use o fato de que ( r , 0 ) e ( r ,   2 π ) representam o mesmo ponto P na chapa, para concluir que y ( 0 ) = y ( 2 π ) . Use esse fato para concluir que ν = λ 2 , para algum inteiro λ ≥ 0 .

c) Mostre que z ( r ) satisfaz a equação r 2 z ' ' r + r z ' r - λ 2 z r = 0 , r > 0 , conhecida como equação de Euler. Determine os valores de b tais que z r = r b é solução da equação de Euler.

d) Use o item anterior para obter a solução geral da equação de Euler. Verifique que qualquer solução que não é proporcional à solução r λ possui assíntota vertical em r = 0 .

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