Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 17.2 - Ex. 2

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Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' - 3 y ' = sen ⁡ 2 x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação auxiliar da parte homogênea é:

r 2 - 3 r = 0

Fatorando, temos que:

r r - 3 = 0

Podemos dizer que as raízes são:

r 1 = 0

r 2 = 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é da seguinte forma:

y h = c 1 e 0 + c 2 e 3 x

Onde c 1 e c 2 são constantes.

Passo 2

Vamos analisar a parte particular agora. Seja:

G x = sen ⁡ 2 x

Temos que:

y p = A cos ⁡ 2 x + B sen ⁡ 2 x

Derivando y p em relação a x , temos:

y p ' = - 2 A sen ⁡ 2 x + 2 B cos ⁡ 2 x

Derivando novamente, temos que:

y p ' ' = - 4 A cos ⁡ 2 x - 4 B sen ⁡ 2 x

Passo 3

Agora vamos substituir na EDO.

y p ' ' - 3 y p ' = sen ⁡ 2 x

- 4 A cos ⁡ 2 x - 4 B sen ⁡ 2 x - 3 - 2 A sen ⁡ 2 x + 2 B cos ⁡ 2 x = sen ⁡ 2 x

- 4 A - 6 B cos ⁡ 2 x + - 4 B + 6 A sen ⁡ 2 x = sen ⁡ 2 x

Comparando os coeficientes de termos semelhantes dos dois lados, temos que:

- 4 A - 6 A = 0

A = - 6 4 B

A = - 3 2 B

E:

- 4 B + 6 A = 1

- 4 B + 6 - 3 2 B = 1

B = - 1 13

Portanto:

A = - 3 2 - 1 13

A = 3 26

Passo 4

Portanto, a solução particular é y p = 3 26 cos ⁡ 2 x - 1 13 sen ⁡ 2 x .

A solução geral é dada por:

y = y h + y p

Portanto:

y = c 1 + c 2 e 3 x + 3 26 cos ⁡ 2 x - 1 13 sen ⁡ 2 x

Resposta

y = c 1 + c 2 e 3 x + 3 26 cos ⁡ 2 x - 1 13 sen ⁡ 2 x

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