Enunciado

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' - 4 y ' + 5 y = e - x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação auxiliar da parte homogênea é:

r 2 - 4 r + 5 = 0

Resolvendo, temos que:

r = 4 ± 16 - 20 2

r = 4 ± 2 i 2

Podemos dizer que as raízes são:

r = 2 ± i

Como as raízes têm parte reais e complexas, a solução geral da EDO é da seguinte forma:

y h = e 2 x c 1 cos ⁡ x + e 2 x c 2 sen ⁡ x

Onde c 1 e c 2 são constantes.

Passo 2

Vamos analisar a parte particular agora. Seja:

G x = e - x

Temos que:

y p = A e - x

Derivando y p em relação a x , temos:

y p ' = - A e - x

Derivando novamente, temos que:

y p ' ' = A e - x

Passo 3

Agora vamos substituir na EDO.

y p ' ' - 4 y p ' + 5 y = e - x

A e - x - 4 - A e - x + 5 A e - x = e - x

10 A e - x = e - x

Comparando os coeficientes de termos semelhantes dos dois lados, temos que:

10 A = 1

A = 1 10

Passo 4

Portanto, a solução particular é y p = 1 10 e - x .

A solução geral é dada por:

y = y h + y p

Portanto:

y = e 2 x c 1 cos ⁡ x + e 2 x c 2 sen ⁡ x + 1 10 e - x

Resposta

y = e 2 x c 1 cos ⁡ x + e 2 x c 2 sen ⁡ x + 1 10 e - x

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