Enunciado

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

9 y ' ' + y = e 2 x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação auxiliar da parte homogênea é:

9 r 2 + 1 = 0

Resolvendo, temos que:

r 2 = - 1 9

Podemos dizer que as raízes são:

r = 1 3 i

Como as raízes são complexas, a solução geral da EDO é da seguinte forma:

y h = c 1 cos ⁡ 1 3 x + c 2 sen ⁡ 1 3 x

Onde c 1 e c 2 são constantes.

Passo 2

Vamos analisar a parte particular agora. Seja:

G x = e 2 x

Temos que:

y p = A e 2 x

Derivando y p em relação a x , temos:

y p ' = 2 A e 2 x

Derivando novamente, temos que:

y p ' ' = 4 A e 2 x

Passo 3

Agora vamos substituir na EDO.

9 y p ' ' + y p = e 2 x

9 4 A e 2 x + A e 2 x = e 2 x

37 A e 2 x = e 2 x

Comparando os coeficientes de termos semelhantes dos dois lados, temos que:

37 A = 1

A = 1 37

Passo 4

Portanto, a solução particular é y p = e 2 x 37 .

A solução geral é dada por:

y = y h + y p

Portanto:

y = c 1 cos ⁡ 1 3 x + c 2 sen ⁡ 1 3 x + e 2 x 37

Resposta

y = c 1 cos ⁡ 1 3 x + c 2 sen ⁡ 1 3 x + e 2 x 37

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