Enunciado

Resolva a equação diferencial.

10. 3 y^(' ') + 4 y^' - 3 y = 0

Passo 1

Bom, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial dada, mas para isso, precisamos antes usar uma solução que satisfaça essa equação, e através dela, a gente encontra a geral. Essa solução é do tipo:

y = e^(r x)

Com derivadas:

y^' = r e^(r x)

y^(' ') = r^2 e^(r x)

Precisamos encontrar agora o valor de r .

Passo 2

Para isso, vamos substituir o que calculamos na equação do enunciado:

3 r^2 e^(r x) + 4 r e^(r x) - 3 e^(r x) = 0

Dividimos tudo por 3 e^(r x) , para encontrarmos o polinômio característico:

r^2 + (4)/(3) r - 1 = 0

Calculando as raizes dele por Bhaskara, podemos encontrar os valores de r :

r = (- (4)/(3) +- sqrt((16)/(9) + 4))/(2) = (- (4)/(3) +- sqrt((52)/(9)))/(2) = - (4)/(6) +- sqrt((52)/(36))

r = - (2)/(3) +- sqrt((13)/(9)) = (- 2 +- sqrt(13))/(3)

Passo 3

Como a solução tem duas raízes reais e distintas, nossa solução geral vai ser do tipo:

y = c_1 e^(r_1 x) + c_2 e^(r_2 x)

Substituindo os r :

y = c_1 e^(((sqrt(13) - 2)/(3)) x) + c_2 e^(- ((2 + sqrt(13))/(3)) x)

E essa será nossa solução geral.

Resposta

y = c_1 e^(((sqrt(13) - 2)/(3)) x) + c_2 e^(- ((2 + sqrt(13))/(3)) x)

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