Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 32
Faça com que seja um hemisfério sólido de raio cuja densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do seu centro da base.
Passo 1
- Encontre a massa de .
- Encontre o centro de massa de .
- Encontre o momento de inércia de em torno de seu eixo.
Como temos um hemisfério solido com densidade proporcional à distância do seu centro de base, vamos posicionar esse centro na origem, para que a função densidade seja:
Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:
Substituindo essas relações na equação da densidade, obtemos:
Dessa forma, a massa será dada pela integral:
Como é constante, podemos tira-la para fora da integral, ficanco com:
Como temos um hemisfério com raio , então as restrições sobre a posição dele são , e . Com isso, podemos reescrever a integral para a massa já com os limites de integração:
Iremos separar as integrais de acordo com as suas variáveis:
E podemos resolver essa integral simultaneamente para as 3 variáveis, com isso, temos:
Passo 2
Antes de começar a resolver o problema, devemos notar a simetria do sólido com relação aos eixos e , dessa forma, temos:
Agora devemos calcular o momento de massa com relação ao eixo do sólido, para isso, fazemos:
Através dos limites de integração e das relações de transformação para coordenadas esféricas apresentadas no passo 1, podemos reescrever a integral como:
Separando as integrais de acordo com suas variáveis, temos:
Sabemos que as integrais com formato:
São resolvidas por substituição, fazendo e a integral se torna:
Nesse caso, temos , então, resolvendo a integral, temos:
E podemos resolver essa integral simultaneamente para as 3 variáveis, com isso, temos:
Dessa forma, o centróide é dado por:
Passo 3
Nós sabemos que o momento de inércia ao redor do eixo será dado por:
Substituindo as relações de transformação do passo 1 e aplicando os intervalos de integração vistos no exemplo 4, temos:
Da relação fundamental da trigonometria, temos , e podemos simplificar a integral para:
Separando as integrais de acordo com suas variáveis, temos:
Da relação fundamental da trigonometria, temos , e podemos simplificar a integral para:
Sabemos que as integrais com formato:
São resolvidas por substituição, fazendo e a integral se torna:
Nesse caso, temos , então, resolvendo a integral, temos:
E podemos resolver essa integral simultaneamente para as 3 variáveis, com isso, temos: