Resolva a equação diferencial.

9.y'' - 4y' + 13y = 0

Passo 1

Como estamos buscando a solução para a equação dada, vamos usar uma solução do tipo:

y = e r x

Que satisfaz a equação diferencial dada.

Mas para encontrar o valor de r , vamos precisar substituir o que encontramos na equação diferencial. Calculando as derivadas da função y teremos:

y ' = r e r x

y ' ' = r 2 e r x

Passo 2

Substituindo as derivadas de y e y na equação:

r 2 e r x - 4 r e r x + 13 e r x = 0

Dividimos tudo por e r x para encontrarmos o polinômio característico:

r 2 - 4 r + 13 = 0

Pela equação de Bhaskara, r será:

r 1 = - - 8 + 16 - 4 ( 1 ) ( 13 ) 2 = 8 + - 36   2 = 4 + 3 i

r 2 = - 4 - - 36   2 = - 2 - 3 i

Como podemos ver, as soluções são raízes complexas ( r = α ± i β ) .

Passo 3

Por isso, nossa solução geral então vai ter a seguinte cara:

y = e α x ( c 1 c o s β x + c 2 s e n β x )

Como α = - 2 e β = 3 , a solução geral será:

y = e - 2 x ( c 1 c o s 3 x + c 2 s e n 3 x )

Resposta

y = e - 2 x ( c 1 c o s 3 x + c 2 s e n 3 x )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados