Resolva o problema de condição inicial.

17.y'' + 3y = 0 , y(0) = 1 , y'(0) = 3

Passo 1

Para resolvermos essa equação diferencial, precisamos encontrar primeiro sua solução geral, para isso, vamos usar uma solução que satisfaça a equação:

y = e r x

Com derivadas:

y ' = r e r x

y ' ' = r 2 e r x

Precisamos achar o valor de r para escrevermos a solução geral e então aplicamos as condições iniciais para encontrarmos a solução.

Passo 2

Para achar r vamos substituir o que calculamos na equação dada:

r 2 e r x + 3 e r x = 0

Dividindo tudo por e r x :

r 2 + 3 = 0

r 2 = - 3

E as raízes serão raízes complexas ( r = α + i β ) , com valores:

r = ± i 3

Passo 3

Por serem raízes complexas, nossa solução geral vai ser do tipo:

y = e α x ( c 1 c o s β x + c 2 s e n β x )

Que é a combinação linear dos dois valores de r .

Substituindo α = 0 e β = 3 :

y = c 1 c o s 3 x + c 2 s e n 3 x

Passo 4

E agora para acharmos as constantes c 1 e c 2 , vamos usar as condições inicias dadas no enunciado:

y 0 = 1

y ( 0 ) = c 1 c o s 0 + c 2 s e n 0 = 1

c 1 = 1

E a derivada da nossa solução é:

y ' = 3 c 2 c o s 3 x - 3 c 1 s e n 3 x

A condição dada é:

y ' 0 = 3

Como já temos c 1 , ficamos com:

y ' 0 = 3 c 2 c o s 0 - 3 s e n 0 = 3

c 2 = 3 3 = 3

E a solução final é:

y = c o s 3 x + 3 s e n 3 x

Resposta

y = c o s 3 x + 3 s e n 3 x

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