Enunciado

Resolva a equação (6) sujeita a i 0 = 0 , em que E ( t ) é a voltagem dada na figura 7.47. [Sugestão: Veja o problema 31, Exercício 7.4.]

Passo 1

Salveeee meu querido

Bora lá, temos que resolver essa equação:

L d i d t + R i = E ( t )

Com i 0 = 0 e para o E ( t ) mostrado na figura 7.47 do seu livro

Bom galerinha, primeiramente, a figura 7.47 mostra a função meandro, que vimos lá no problema 31 da seção 4 desse capítulo

E lá, encontramos que a transformada dessa função é dada por

E s = 1 - e - s s ( 1 + e - s )

Então vamos usar isso nesse problema belezinha?

Bora lá!!

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

L d i d t + R i = E ( t )

L s . I s - 0 + R I s = 1 - e - s s ( 1 + e - s )

I s . L s + R = 1 - e - s s ( 1 + e - s )

Isolando I ( s ) :

I s = 1 - e - s s L s + R ( 1 + e - s )

Podemos escrever isso assim:

I s = 1 L 1 - e - s s s + R L ( 1 + e - s )

I s = 1 L 1 - e - s s s + R L . 1 ( 1 + e - s )

Expandindo em frações parciais e série de potências:

I s = 1 L L R s - L R s + R L 1 - e - s 1 - e - s + e - 2 s - e - 3 s + …

I s = 1 R 1 s - 1 s + R L ( 1 - 2 e - s + 2 e - 2 s - 2 e - 3 s + … )

Agora é só fazer a transformada inversa disso hehehe

Passo 3

Temos

I s = 1 R 1 s - 1 s + R L ( 1 - 2 e - s + 2 e - 2 s - 2 e - 3 s + … )

Fazendo a transformada inversa:

I s = 1 R 1 - 2 u t - 1 + 2 u t - 2 - 2 u t - 3 + … - 1 R ( e - R t L + 2 e - R t - 1 L u t - 1 - 2 e - R t - 2 L u t - 2 + … )

E fimmmm

Resposta

I s = 1 R 1 - 2 u t - 1 + 2 u t - 2 - 2 u t - 3 + … - 1 R ( e - R t L + 2 e - R t - 1 L u t - 1 - 2 e - R t - 2 L u t - 2 + … )

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