Enunciado

  1. Resolva a equação

j) (d^2 y)/(d x^2) - 6 y = 0

Passo 1

Teorema,

  1. s e lambda_1 != lambda_2 , a s o l u ç ã o g e r a l d a e q u a ç ã o h o m o g ê n e a (lambda^2 + b lambda + c = 0) s e r á
  2. x = A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)

  3. s e lambda_1 = lambda_2 , a s o l u ç ã o g e r a l s e r á

x = A e^(lambda_1 t) + B t e^(lambda_1 t)

Passo 2

aplicando em nossa questão:

(d^2 y)/(d x^2) - 6 y = 0

Transformando no formato lambda^2 + b lambda + c = 0 ,

lambda^2 - 6 = 0

Passo 3

Resolvendo...

lambda^2 - 6 = 0

( lambda + sqrt(6) ) ( lambda - sqrt(6) )

As raízes dessa equação homogênea são,

lambda_1 = - sqrt(6) , lambda_2 = sqrt(6)

Pelo teorema, lambda_1 != lambda_2

Então a solução geral da equação,

y = A e^(- sqrt(6) * x) + B e^(sqrt(6) * x)

Resposta

y = A e^(- sqrt(6) x) + B e^(sqrt(6) x)

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Em cada um dos problemas de 9 a 16, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t aumenta. y ' ' + 5 y ' + 3 y = 0 , y 0 = 1 ,