Resolva as equações de Bernoulli

(d y)/(d x) = 5 y - (4 x)/(y)

Passo 1

Meus queridos e minhas queridas:

Para resolver uma equação de Bernoulli, dada por:

(d y)/(d x) = h (x) y + j (x) y^(prop) ; prop != 0

Precisamos seguir 2 passos:

1 º p a s s o : m u l t i p l i c a r a m b o s o s l a d o s d a e q u a ç ã o p o r y^(- prop) ;

2 º p a s s o : f a z e r a m u d a n ç a d e v a r i á v e l u = y^(1 - prop) , y = y (x) .

Vamos lá:

(d y)/(d x) = 5 y - (4 x)/(y)

(d y)/(d x) = 5 y - 4 x * y^(- 1)

Multiplicando ambos os lados da equação por y :

(y * d y)/(d x) = 5 y^2 - 4 x

Agora precisamos fazer a substituição de variável:

u = y^2

(d u)/(d y) = 2 y

(d u)/(2 y) = d y

Então:

(y * d u)/(2 y * d x) = 5 u - 4 x

(d u)/(d x) = 10 u - 8 x

Passo 2

Para resolvermos esse tipo de equação, precisamos fazer uso do seguinte artifício:

As soluções da equação:

(d y)/(d x) = f (x) y + g ( x )

São dadas pela fórmula:

y = e^(int f (x) d x) * [k + int g (x) e^(- int f (x) d x) d x]

Portanto, mãos a massa!

Sendo a equação:

(d u)/(d x) = 10 u - 8 x

Sabemos que:

{[[f (x) = 1 0],[g (x) = - 8 x]])

Vamos lá!

u = e^(int 10 d x) * [k + int - 8 x . e^(- int 10 d x) d x]

u = e^(10 x) * [k - 8 int x . e^(- 10 x) d x]

u = k e^(10 x) + e^(10 x) {(2)/(25) e^(- 10 x) ( 10 x + 1 )}

u = k e^(10 x) + (20 x + 2)/(2 5)

Lembrem-se de retornar a substituição feita:

u = y^2

y^2 = k e^(10 x) + (20 x + 2)/(2 5)

Resposta

y^2 = k e^(10 x) + (20 x + 2)/(25)

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