Enunciado

Resolva em x e escreva a resposta com a notação de valor absoluto

a - x a + x ≥ 0

Passo 1

Precisamos encontrar os valores para os quais a nossa equação é não-negativa. Pra isso vamos analisá-la usando uma tabela de sinais seguindo essa metodologia:

  1. Isolar todos os termos de um lado e simplificar em uma fração só
  2. Encontrar as raízes dos polinômios do numerador e do denominador
  3. Seccionar os números reais em intervalos delimitados pelas raízes encontradas
  4. Analisar o sinal de cada binômio para cada um dos intervalos e fazer uma tabelinha com esses sinais.
  5. Os intervalos onde a condição da nossa inequação for satisfeita serão os intervalos que formam o nosso conjunto solução!

Parece complicado, mas fazendo um passo por vez é tranquilinho ;)

O problema pede para que representemos a resposta em termos de valor absoluto, mas vamos nos preocupar com isso depois que soubermos nosso intervalo onde x - a x + a é não-negativa.

Como a equação já está com todos os termos isolados em uma fração só, podemos ir para o 2º passo.

Passo 2

Nossas raízes serão:

x 1 = - a

x 2 = a

Passo 3

Daí os nossos intervalos de análise serão:

- ∞ ,   - a ,   - a ,   a , ( a , + ∞ )  

Também vamos considerar a nossa função nas raízes, pois estamos considerando o intervalo fechado em 0 . Daí vamos ficar com as duas tabelinhas de sinais:

Passo 4

Para a > 0 :

Conjunto solução para a - x a + x ≥ 0 :

( - a ,   a ]

Para a < 0 :

Conjunto solução para a - x a + x ≥ 0 :

[ - a ,   a )

Passo 5

Como queremos ambas as soluções simultaneamente, precisamos fazer a interseção dos conjuntos solução encontrados pra ficar com o nosso conjunto solução final.

Considerando a > 0 :

- a ,   a ∩ - a ,   a = - a ,   a

Que também podemos representar como:

- a < x < a

E da definição de módulo:

x < | a |

E acabamos! Temos nosso intervalo em termos de valor absoluto!

Resposta

x < | a |

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